Важно понимать, что функции могут вести себя по-разному на заданном отрезке, и это влияет на их производные. Давайте разберем каждую из перечисленных характеристик функции у = f(x) на отрезке [а, в].

• Функция называется дифференцируемой на отрезке, если в каждой точке этого отрезка существует производная.
• Это означает, что для каждой точки x из [а, в] предел отношения приращения функции к приращению аргумента существует.

• Разрыв функции может быть первого или второго рода. Разрыв первого рода означает, что функция имеет конечные пределы с обеих сторон в точке разрыва, но значение функции в этой точке может отсутствовать или отличаться от предела.
• Разрыв второго рода - это ситуация, когда хотя бы один из пределов не существует или бесконечен.
• Если функция имеет разрывы на отрезке [а, в], то она не может быть дифференцируемой в точках разрыва.

• Функция непрерывна на отрезке, если для любой точки x из [а, в] выполняется условие: предел функции при x, стремящемся к этой точке, равен значению функции в этой точке.
• Если функция непрерывна на отрезке, это является необходимым условием для ее дифференцируемости, но не достаточным: непрерывная функция может не иметь производной в некоторых точках.

Таким образом, если функция имеет разрывы, она не будет дифференцируема в точках разрыва. Если функция непрерывна на отрезке, это является хорошим знаком, но для дифференцируемости нужно дополнительно проверять существование производной в каждой точке отрезка.