Доказать непрерывность функций y=sin x и y=ex

Другие предметы Университет Непрерывность функций доказать непрерывность функции y=sin x функции y=ex математический анализ университет свойства непрерывных функций пределы функций Новый

Чтобы доказать непрерывность функций y = sin(x) и y = e^x, мы воспользуемся определением непрерывности функции в точке.

Определение непрерывности: Функция f(x) называется непрерывной в точке x = a, если выполняются три условия:

1. f(a) существует.
2. lim (x -> a) f(x) существует.
3. lim (x -> a) f(x) = f(a).

Теперь мы рассмотрим каждую из функций по отдельности.

1. Функция y = sin(x):

• Первое условие: Для любого значения a функция sin(a) существует, так как синус определен для всех действительных чисел.
• Второе условие: Рассмотрим предел lim (x -> a) sin(x). Синус - это периодическая функция, и предел sin(x) при x, стремящемся к a, равен sin(a).
• Третье условие: Мы уже знаем, что lim (x -> a) sin(x) = sin(a), что подтверждает равенство.

Таким образом, функция y = sin(x) непрерывна для всех x.

2. Функция y = e^x:

• Первое условие: Для любого значения a функция e^a существует, так как экспонента определена для всех действительных чисел.
• Второе условие: Рассмотрим предел lim (x -> a) e^x. Предел e^x при x, стремящемся к a, равен e^a.
• Третье условие: Мы также знаем, что lim (x -> a) e^x = e^a, что подтверждает равенство.

Таким образом, функция y = e^x также непрерывна для всех x.

Вывод: Обе функции y = sin(x) и y = e^x являются непрерывными на всей области определения, которая включает все действительные числа.