Доказать непрерывность функций y=sin^x и y=e^x

Другие предметы Университет Непрерывность функций доказать непрерывность функции y=sinx функции y=ex математический анализ университет свойства непрерывности анализ функций пределы и непрерывность тригонометрические функции экспоненциальные функции Новый

Чтобы доказать непрерывность функций y = sin(x) и y = e^x, мы воспользуемся определением непрерывности функции в точке.

Определение непрерывности: Функция f(x) называется непрерывной в точке x = a, если выполняются три условия:

1. f(a) определена;
2. существует предел функции f(x) при x, стремящемся к a;
3. предел функции f(x) при x, стремящемся к a, равен значению функции в этой точке: lim (x -> a) f(x) = f(a).

Теперь рассмотрим каждую функцию по отдельности.

1. Функция y = sin(x):

• Выберем произвольную точку a. Значение функции в этой точке: f(a) = sin(a), которое определено для любого a.
• Теперь найдем предел функции при x, стремящемся к a: lim (x -> a) sin(x). По свойствам пределов, мы знаем, что lim (x -> a) sin(x) = sin(a).
• Сравниваем: lim (x -> a) sin(x) = sin(a) = f(a). Таким образом, все три условия определяют непрерывность функции в точке a.

Так как точка a была выбрана произвольно, мы можем утверждать, что функция y = sin(x) непрерывна на всей числовой прямой.

2. Функция y = e^x:

• Выберем произвольную точку a. Значение функции в этой точке: f(a) = e^a, которое также определено для любого a.
• Теперь найдем предел функции при x, стремящемся к a: lim (x -> a) e^x. По свойствам экспоненциальной функции, lim (x -> a) e^x = e^a.
• Сравниваем: lim (x -> a) e^x = e^a = f(a). Все три условия определяют непрерывность функции в точке a.

Так как точка a была выбрана произвольно, мы можем утверждать, что функция y = e^x также непрерывна на всей числовой прямой.

Вывод: Мы доказали, что функции y = sin(x) и y = e^x непрерывны на всей числовой прямой, так как выполняются все условия определения непрерывности для произвольной точки a.