Чтобы найти производную функции f(x) = log3(sin^2(2x) + 5),нам нужно использовать правила дифференцирования, такие как правило цепочки и производная логарифмической функции.

Шаг 1: Применение правила логарифмической производной

• Производная логарифмической функции log_a(u) равна (1 / (u * ln(a))) * u', где u - это функция, от которой мы берем логарифм, а a - основание логарифма.

В нашем случае:

• u = sin^2(2x) + 5
• a = 3

Шаг 2: Найдем производную u'

• u = sin^2(2x) + 5
• Чтобы найти u', используем правило цепочки:
• u' = 2 * sin(2x) * cos(2x) * (d/dx(2x)) = 2 * sin(2x) * cos(2x) * 2 = 4 * sin(2x) * cos(2x).
• Также можно заметить, что 4 * sin(2x) * cos(2x) = 2 * sin(4x) (по формуле двойного угла).

Шаг 3: Применяем правило логарифмической производной

• Теперь подставим u и u' в формулу для производной логарифмической функции:
• f'(x) = (1 / ((sin^2(2x) + 5) * ln(3))) * u'
• Итак, f'(x) = (1 / ((sin^2(2x) + 5) * ln(3))) * (4 * sin(2x) * cos(2x)).

Шаг 4: Записываем окончательный ответ

Таким образом, производная функции f(x) равна:

f'(x) = (4 * sin(2x) * cos(2x)) / ((sin^2(2x) + 5) * ln(3))