Фигура, образованная путем вращения вокруг оси Oх, ограничена линиями y=4x-x2,y=x. Найдите объем данного тела.

• π / 2
• 108π / 5
• 15 / 2

Другие предметы Университет Объем тел вращения математика университет Объём тела вращения интегралы задачи по математике геометрия вычисление объёма функции анализ учебные задания Новый

Чтобы найти объем тела, образованного вращением фигуры вокруг оси Oх, нам нужно использовать метод дисков или цилиндров. Для начала давайте определим точки пересечения функций y = 4x - x² и y = x.

Шаг 1: Найдем точки пересечения функций.

Для этого приравняем обе функции:

4x - x² = x

Переносим все в одну сторону уравнения:

-x² + 4x - x = 0

-x² + 3x = 0

Выносим x за скобки:

x(-x + 3) = 0

Таким образом, у нас есть два решения:

• x = 0
• x = 3

Следовательно, функции пересекаются в точках (0, 0) и (3, 3).

Шаг 2: Определим объем вращения.

Теперь мы можем использовать формулу для объема тела вращения:

V = π * ∫[a, b] (R² - r²) dx,

где R - верхняя функция, r - нижняя функция, а a и b - границы интегрирования.

В нашем случае:

• R = 4x - x² (верхняя функция)
• r = x (нижняя функция)
• a = 0, b = 3

Подставим в формулу:

V = π * ∫[0, 3] ((4x - x²)² - (x)²) dx.

Шаг 3: Упростим интеграл.

Сначала найдем (4x - x²)²:

(4x - x²)² = 16x² - 8x³ + x⁴.

Теперь подставим в интеграл:

V = π * ∫[0, 3] (16x² - 8x³ + x⁴ - x²) dx.

Упрощаем:

V = π * ∫[0, 3] (15x² - 8x³ + x⁴) dx.

Шаг 4: Найдем неопределенный интеграл.

Теперь мы можем найти интеграл:

∫(15x² - 8x³ + x⁴) dx = 5x³ - 2x⁴ + (1/5)x⁵ + C.

Шаг 5: Вычислим определенный интеграл от 0 до 3.

Теперь подставим границы интегрирования:

V = π * [5(3)³ - 2(3)⁴ + (1/5)(3)⁵ - (5(0)³ - 2(0)⁴ + (1/5)(0)⁵)]

V = π * [5(27) - 2(81) + (1/5)(243)]

V = π * [135 - 162 + 48.6]

V = π * [21.6].

Шаг 6: Найдем объем.

Таким образом, объем тела вращения равен:

V = 21.6π.

Теперь, если мы посмотрим на предложенные варианты ответов, мы можем выразить 21.6 в виде дроби:

21.6 = 216/10 = 108/5.

Следовательно, правильный ответ:

108π / 5.