Похожие вопросы
2025-03-02 03:14:54
Фигура, образованная путем вращения вокруг оси Oх, ограничена линиями y=4x-x2,y=x. Найдите объем данного тела. 
Другие предметы Университет Объем тел вращения Объём тела вращения математика университет интегралы геометрия задачи на объём метод дисков ось Oх функции пределы математический анализ
2025-07-19 12:21:39
Для нахождения объема тела, образованного вращением области вокруг оси Ox, мы используем метод цилиндрических слоев или метод дисков. В данном случае удобнее использовать метод дисков, так как функции выражены в явном виде относительно y.
Шаг 1: Определим точки пересечения функций y = 4x - x² и y = x.
- Приравняем функции: 4x - x² = x.
- Решим уравнение: x² - 3x = 0.
- Вынесем x за скобки: x(x - 3) = 0.
- Получим два корня: x = 0 и x = 3.
Шаг 2: Найдем объем тела вращения методом дисков.
- Объем тела вращения V определяется интегралом: V = π ∫[a, b] (R² - r²) dx, где R и r - радиусы внешнего и внутреннего дисков соответственно.
- В нашем случае, внешняя функция (больший радиус) - это y = 4x - x², а внутренняя функция (меньший радиус) - y = x.
- Радиус внешнего диска: R = 4x - x².
- Радиус внутреннего диска: r = x.
- Подставим в формулу объема: V = π ∫[0, 3] ((4x - x²)² - x²) dx.
Шаг 3: Вычислим интеграл.
- Раскроем скобки: (4x - x²)² = 16x² - 8x³ + x⁴.
- Подставим в интеграл: V = π ∫[0, 3] (16x² - 8x³ + x⁴ - x²) dx.
- Упростим: V = π ∫[0, 3] (15x² - 8x³ + x⁴) dx.
- Вычислим интеграл: V = π [ (15/3)x³ - (8/4)x⁴ + (1/5)x⁵ ] от 0 до 3.
- Вычислим значения: V = π [ (5*3³) - (2*3⁴) + (1/5*3⁵) ].
- Подставим числа: V = π [ 135 - 162 + 48.6 ].
- Рассчитаем: V = π * 21.6.
- Итоговый объем: V = 21.6π.
Таким образом, объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox, равен 21.6π.
