Похожие вопросы
2025-07-19 09:53:15
Найти объём тела, полученного от вращения плоской фигуры, ограниченной линиями y = sinx; x = π/2, y = 0 вокруг оси Ох.
- π² (куб. ед.);
- π 2/4 (куб. ед.);
- π (куб. ед.);
- 3/4 π² (куб. ед.);
- 2π (куб. ед.).
Другие предметы Университет Объем тел вращения Объём тела вращение плоской фигуры высшая математика университет интегралы функции ось Ох sinx математический анализ задачи по математике
2025-07-19 09:53:37
Чтобы найти объём тела, полученного от вращения плоской фигуры, ограниченной линиями y = sin(x), x = π/2 и y = 0 вокруг оси OX, мы будем использовать метод дисков (или цилиндров).
Шаги решения:
- Определение границ интегрирования: Мы видим, что фигура ограничена по оси x от 0 до π/2.
- Формула для объёма: Объём V тела вращения можно вычислить по формуле:
- V = π * ∫[a, b] (f(x))² dx
- Подставляем функции и границы: В нашем случае f(x) = sin(x), a = 0, b = π/2. Таким образом, мы имеем:
- V = π * ∫[0, π/2] (sin(x))² dx
- Используем тригонометрическую идентичность: Чтобы упростить интеграл, используем формулу:
- (sin(x))² = (1 - cos(2x)) / 2
- Подставляем в интеграл:
- V = π * ∫[0, π/2] (1 - cos(2x)) / 2 dx
- Вынесем π/2 за знак интеграла:
- V = π/2 * ∫[0, π/2] (1 - cos(2x)) dx
- Решаем интеграл:
- ∫(1 - cos(2x)) dx = x - (sin(2x)/2)
- Подставляем пределы:
- V = π/2 * [x - (sin(2x)/2)] от 0 до π/2
- Вычисляем значения:
- При x = π/2: π/2 - (sin(π)/2) = π/2 - 0 = π/2
- При x = 0: 0 - (sin(0)/2) = 0 - 0 = 0
- Теперь подставляем значения в формулу:
- V = π/2 * (π/2 - 0) = π/2 * (π/2) = π²/4
Ответ: Объём тела, полученного от вращения фигуры, равен π²/4 куб. ед.