Может ли линейный оператор иметь ровно два различных собственных вектора?

• нет
• да

Другие предметы Университет Собственные векторы и собственные значения линейных операторов линейный оператор собственные векторы линейная алгебра аналитическая геометрия университет свойства операторов матричная теория векторное пространство Новый

Чтобы ответить на вопрос о том, может ли линейный оператор иметь ровно два различных собственных вектора, давайте сначала вспомним несколько основных понятий из линейной алгебры.

Собственные векторы и собственные значения

• Линейный оператор A на векторном пространстве V называется собственным, если существует ненулевой вектор v из V и скаляр λ, такие что A(v) = λv. Вектор v называется собственным вектором, а λ - собственным значением.

Теперь давайте рассмотрим, что значит иметь "ровно два различных собственных вектора". Если у линейного оператора есть два различных собственных вектора, то мы можем обозначить их как v1 и v2. Для них существуют соответствующие собственные значения λ1 и λ2.

Случай 1: Различные собственные значения

• Если λ1 и λ2 - различные собственные значения, то собственные векторы v1 и v2 линейно независимы. Это означает, что векторное пространство, порожденное этими двумя векторами, имеет размерность 2.
• В этом случае оператор A будет иметь как минимум два собственных вектора (v1 и v2), и, следовательно, не может иметь только два собственных вектора, так как векторное пространство, порожденное этими векторами, будет иметь больше размерности.

Случай 2: Одинаковое собственное значение

• Если λ1 = λ2, то оба вектора v1 и v2 являются собственными векторами, соответствующими одному и тому же собственному значению.
• Однако, в этом случае, любые линейные комбинации векторов v1 и v2 также будут собственными векторами, что приведет к бесконечному количеству собственных векторов, так как можно получить множество различных векторов, используя линейные комбинации.

Таким образом, мы приходим к выводу: линейный оператор не может иметь ровно два различных собственных вектора. Если он имеет два собственных вектора, то они либо линейно независимы и порождают пространство размерности 2, либо они линейно зависимы и в этом случае существует бесконечное множество собственных векторов.

Ответ: Нет, линейный оператор не может иметь ровно два различных собственных вектора.