Чтобы определить, какие из данных отношений являются отношениями частичного порядка, нам нужно проверить, удовлетворяют ли они трем основным свойствам частичного порядка: рефлексивность, антисимметричность и транзитивность. Давайте рассмотрим каждое из предложенных отношений:

1. Отношение P: ([a, b], [c, d]) | c < a < b < d
• Рефлексивность: Отношение рефлексивно, если для любого отрезка [a, b] выполняется ([a, b], [a, b]). Для отношения P это невозможно, так как c < a и b < d, следовательно, оно не является рефлексивным.
• Антисимметричность: Отношение антисимметрично, если из ([a, b], [c, d]) и ([c, d], [a, b]) следует, что [a, b] = [c, d]. Для отношения P это невозможно, так как c < a и b < d, следовательно, оно не является антисимметричным.
• Транзитивность: Отношение транзитивно, если из ([a, b], [c, d]) и ([c, d], [e, f]) следует ([a, b], [e, f]). Для отношения P это возможно, так как если c < a < b < d и d < e < f, то c < a < b < f. Однако из-за отсутствия рефлексивности и антисимметричности данное отношение не является частичным порядком.
2. Отношение Q: ([a, b], [c, d]) | a < c < b < d
• Рефлексивность: Для Q это невозможно, так как a < c и b < d, следовательно, оно не является рефлексивным.
• Антисимметричность: Для Q это невозможно, так как a < c и b < d, следовательно, оно не является антисимметричным.
• Транзитивность: Для Q это возможно, так как если a < c < b < d и c < e < d < f, то a < e < b < f. Однако из-за отсутствия рефлексивности и антисимметричности данное отношение не является частичным порядком.
3. Отношение R: ([a, b], [c, d]) | b < c
• Рефлексивность: Для R это невозможно, так как b не может быть меньше c для одного и того же отрезка [a, b], следовательно, оно не является рефлексивным.
• Антисимметричность: Для R это возможно, так как если b < c, то не может быть одновременно c < b, следовательно, оно является антисимметричным.
• Транзитивность: Для R это возможно, так как если b < c и d < e, то b < e, следовательно, оно является транзитивным.
• Из-за отсутствия рефлексивности данное отношение не является частичным порядком.

Таким образом, ни одно из предложенных отношений не является отношением частичного порядка, поскольку ни одно из них не удовлетворяет всем трем необходимым свойствам.