Найдите интервал сходимости ряда x+2x2+3x3+4x4+…+nxn+…, не исследуя концов интервала

Другие предметы Университет Ряды и последовательности интервал сходимости ряд математика университет исследование конец интервала последовательности степени анализ рядов Новый

Чтобы найти интервал сходимости данного ряда, который можно записать в виде:

Сумма (n=1 до бесконечности) n * x^n

нам нужно применить тест радиуса сходимости. Мы будем использовать критерий Коши для нахождения радиуса сходимости.

Для этого вычислим предел:

lim (n -> бесконечность) |a(n+1)/a(n)|

где a(n) = n * x^n. Тогда:

• a(n) = n * x^n
• a(n+1) = (n+1) * x^(n+1) = (n+1) * x * x^n

Теперь найдем отношение:

|a(n+1)/a(n)| = |(n+1) * x * x^n / (n * x^n)| = |(n+1)/n * x|

Упростим это выражение:

|a(n+1)/a(n)| = |(1 + 1/n) * x|

Теперь найдем предел:

lim (n -> бесконечность) |(1 + 1/n) * x| = |x|

Теперь по критерию Коши ряд будет сходиться, если:

|x| < 1

Таким образом, радиус сходимости R равен 1, и интервал сходимости будет:

(-1, 1)

Теперь мы можем записать ответ:

Интервал сходимости ряда: (-1, 1)