Похожие вопросы
2025-02-24 00:22:19
Найдите радиус сходимости ряда 1 / 4 + x / 5 + x² / 6 − x³ / 7 + … xⁿ / (n + 4) + …
Другие предметы Университет Ряды и последовательности радиус сходимости математический анализ ряд университет последовательности функции пределы сходимость рядов теория рядов анализ рядов
2025-07-19 09:06:01
Чтобы найти радиус сходимости данного степенного ряда, воспользуемся формулой радиуса сходимости для степенного ряда:
R = 1 / limsup(|aₙ|^(1/n))
где aₙ - коэффициенты ряда.
В данном случае ряд имеет вид:
- a₀ = 1/4
- a₁ = 1/5
- a₂ = 1/6
- a₃ = -1/7
- и так далее: aₙ = 1/(n+4)
Теперь найдем радиус сходимости:
- Определяем формулу для общего члена aₙ: aₙ = 1/(n+4).
- Найдем предел limsup(|aₙ|^(1/n)). Поскольку aₙ = 1/(n+4), то |aₙ| = 1/(n+4).
- Теперь найдем предел limsup(|aₙ|^(1/n)):
Рассмотрим выражение |aₙ|^(1/n):
- |aₙ|^(1/n) = (1/(n+4))^(1/n) = 1/((n+4)^(1/n))
Нам необходимо найти предел этого выражения при n → ∞:
При n → ∞, (n+4)^(1/n) стремится к 1, так как это выражение эквивалентно (n^(1/n) * (1 + 4/n)^(1/n)), где n^(1/n) стремится к 1, и (1 + 4/n)^(1/n) также стремится к 1.
Таким образом, limsup(|aₙ|^(1/n)) = 1.
Теперь можем найти радиус сходимости R:
R = 1 / limsup(|aₙ|^(1/n)) = 1 / 1 = 1
Следовательно, радиус сходимости данного ряда равен 1.
