Найдите радиус сходимости ряда x / (1 ⋅ 2) + x² / (2 ⋅ 2²) + x³ / (3 ⋅ 2³) + … + xⁿ / (n ⋅ 2ⁿ) + …

1. R = 2
2. R = 1
3. R = 1/2
4. R = ∞

Другие предметы Университет Ряды и последовательности радиус сходимости высшая математика ряд университет математический анализ последовательности и ряды сходимость рядов изучение рядов математические ряды Новый

Чтобы найти радиус сходимости данного ряда, мы воспользуемся критерием Даламбера (или тестом отношения). Рассмотрим общий член ряда:

a_n = x^n / (n * 2^n)

Теперь найдем отношение последовательных членов ряда:

a_(n+1) = x^(n+1) / ((n+1) * 2^(n+1))

Теперь вычислим отношение a_(n+1) / a_n:

a_(n+1) / a_n = (x^(n+1) / ((n+1) * 2^(n+1))) / (x^n / (n * 2^n))

Упрощаем это выражение:

• a_(n+1) / a_n = (x^(n+1) * n * 2^n) / (x^n * (n+1) * 2^(n+1))
• = (x * n) / ((n+1) * 2)

Теперь найдем предел этого отношения при n стремящемся к бесконечности:

lim (n -> ∞) | a_(n+1) / a_n | = lim (n -> ∞) | (x * n) / ((n+1) * 2) |

Разделим числитель и знаменатель на n:

= lim (n -> ∞) | (x) / (2 * (1 + 1/n)) | = | x / 2 |

Согласно критерию Даламбера, ряд сходится, если этот предел меньше 1:

| x / 2 | < 1

Это неравенство можно переписать как:

| x | < 2

Таким образом, радиус сходимости R равен 2. Ответ:

R = 2