Найдите обратную матрицу для матрицы A = ((2, 2, 3), (1, −1, 0), −1, 2, 1))

1. A⁻¹ = ((1, −2, 7), (0, 1, −2), (0, 0, 1))
2. A⁻¹ = ((1, −4, −3), (1, −5, −3), (−1, 6, 4))
3. A⁻¹ = ((−3, 1, −4), (−3, 1, −5), (4, −1, 4))
4. A⁻¹ = ((1, 4, 3), (1, −5, 3), (1, 6, −4))

Другие предметы Университет Обратные матрицы обратная матрица матрица A высшая математика университет линейная алгебра вычисление матрицы матричные операции системы уравнений студенческие задачи математические методы Новый

Для нахождения обратной матрицы для данной матрицы A, нам необходимо выполнить несколько шагов. Давайте рассмотрим матрицу A, которая задана как:

A = ((2, 2, 3), (1, -1, 0), (-1, 2, 1))

Шаг 1: Проверка определителя

Сначала мы должны убедиться, что матрица A имеет обратную, то есть ее определитель не равен нулю. Определитель 3x3 матрицы можно вычислить по формуле:

det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg),

где матрица A представлена как:

A = ((a, b, c), (d, e, f), (g, h, i)).

Для нашей матрицы A:

• a = 2, b = 2, c = 3
• d = 1, e = -1, f = 0
• g = -1, h = 2, i = 1

Теперь подставим значения в формулу:

det(A) = 2((-1)*1 - 0*2) - 2(1*1 - 0*(-1)) + 3(1*2 - (-1)*(-1))

det(A) = 2(-1) - 2(1) + 3(2 - 1)

det(A) = -2 - 2 + 3 = -1.

Поскольку определитель не равен нулю (det(A) = -1), матрица A обратима.

Шаг 2: Нахождение матрицы присоединенной

Теперь мы можем найти обратную матрицу, используя формулу:

A⁻¹ = (1/det(A)) * adj(A),

где adj(A) - присоединенная матрица. Для 3x3 матрицы она находится путем вычисления миноров и кофакторов.

Сначала найдем матрицу кофакторов:

1. Кофактор C11 = det((−1, 0), (2, 1)) = (−1*1 - 0*2) = -1
2. Кофактор C12 = -det((1, 0), (-1, 1)) = -((1*1 - 0*(-1)) = -1
3. Кофактор C13 = det((1, -1), (-1, 2)) = (1*2 - (-1)(-1)) = 2 - 1 = 1
4. Кофактор C21 = -det((2, 3), (2, 1)) = -((2*1 - 3*2)) = -(2 - 6) = 4
5. Кофактор C22 = det((2, 3), (-1, 1)) = (2*1 - 3*(-1)) = 2 + 3 = 5
6. Кофактор C23 = -det((2, 2), (-1, 2)) = -((2*2 - 2*(-1))) = -(4 + 2) = -6
7. Кофактор C31 = det((2, 3), (2, -1)) = (2*(-1) - 3*2) = -2 - 6 = -8
8. Кофактор C32 = -det((2, 3), (1, 0)) = -((2*0 - 3*1)) = -(-3) = 3
9. Кофактор C33 = det((2, 2), (1, -1)) = (2*(-1) - 2*1) = -2 - 2 = -4

Таким образом, матрица кофакторов C будет равна:

C = ((-1, -1, 1), (4, 5, -6), (-8, 3, -4))

Шаг 3: Транспонирование матрицы кофакторов

Теперь мы транспонируем матрицу кофакторов, чтобы получить присоединенную матрицу:

adj(A) = ((-1, 4, -8), (-1, 5, 3), (1, -6, -4))

Шаг 4: Нахождение обратной матрицы

Теперь мы можем найти обратную матрицу:

A⁻¹ = (1/det(A)) * adj(A) = -1 * ((-1, 4, -8), (-1, 5, 3), (1, -6, -4))

A⁻¹ = ((1, -4, 8), (1, -5, -3), (-1, 6, 4))

Таким образом, обратная матрица A⁻¹ равна:

A⁻¹ = ((1, -4, 8), (1, -5, -3), (-1, 6, 4)).