Понятие обратной матрицы.Доказательство единственности ОМ.???обратно-матричное произведение 2х невырожденных матриц.

Другие предметы Университет Обратные матрицы обратная матрица доказательство единственности обратное произведение невырожденные матрицы линейная алгебра аналитическая геометрия свойства матриц матричные операции университетская программа учебные материалы Новый

Понятие обратной матрицы

Обратная матрица к квадратной матрице A - это такая матрица B, что произведение матриц A и B дает единичную матрицу. То есть, если A - это n x n матрица, то B также будет n x n матрицей, и выполняется равенство:

A * B = B * A = I, где I - единичная матрица размера n.

Доказательство единственности обратной матрицы

Предположим, что матрица A имеет две обратные матрицы: B и C. Мы должны показать, что B = C.

1. По определению обратной матрицы, для матрицы A выполняется:
• A * B = I
• A * C = I
2. Теперь умножим обе стороны первого равенства A * B = I слева на матрицу C:
• C * (A * B) = C * I
3. По ассоциативности умножения матриц получаем:
• (C * A) * B = C
4. Так как C * A = I (из второго равенства), то:
• I * B = C
• Следовательно, C = B.

Таким образом, мы доказали, что если матрица A имеет две обратные матрицы B и C, то B = C, что и доказывает единственность обратной матрицы.

Обратно-матричное произведение двух невырожденных матриц

Если у нас есть две невырожденные матрицы A и B, то их произведение также будет невырожденным, и обратная матрица к произведению этих матриц может быть найдена по следующему правилу:

(A * B)^-1 = B^-1 * A^-1.

Это правило следует из определения обратной матрицы и свойств умножения матриц. Доказательство этого свойства можно провести следующим образом:

1. По определению обратной матрицы, мы знаем, что:
• A * A^-1 = I
• B * B^-1 = I
2. Умножим обе стороны равенства (A * B) * (B^-1 * A^-1) и используем ассоциативность:
• (A * B) * (B^-1 * A^-1) = A * (B * B^-1) * A^-1 = A * I * A^-1 = A * A^-1 = I.
3. Аналогично, если мы умножим (B^-1 * A^-1) * (A * B), то получим:
• (B^-1 * A^-1) * (A * B) = B^-1 * (A^-1 * A) * B = B^-1 * I * B = B^-1 * B = I.

Таким образом, мы показали, что (A * B)^-1 = B^-1 * A^-1, что и доказывает это свойство.