Найдите площадь фигуры, ограниченной параболами: y = –x², y = x² – 2x – 4

• 9
• 12
• 4
• 36

Другие предметы Университет Площадь фигуры, ограниченной кривыми площадь фигуры параболы высшая математика университет решение задачи математический анализ графики функций Новый

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной двумя параболами, сначала необходимо определить точки их пересечения. Для этого мы приравняем уравнения парабол:

• y = -x²
• y = x² - 2x - 4

Приравняем их:

-x² = x² - 2x - 4

Теперь перенесем все члены в одну сторону:

0 = 2x² - 2x - 4

Упрощаем уравнение, деля его на 2:

0 = x² - x - 2

Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем воспользоваться формулой корней квадратного уравнения:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = -1, c = -2.

Подставим значения:

x = (1 ± √((-1)² - 4 * 1 * (-2))) / (2 * 1)

x = (1 ± √(1 + 8)) / 2

x = (1 ± √9) / 2

x = (1 ± 3) / 2

Таким образом, мы получаем два корня:

• x₁ = (1 + 3) / 2 = 2
• x₂ = (1 - 3) / 2 = -1

Теперь у нас есть точки пересечения парабол: x = -1 и x = 2.

Следующим шагом будет нахождение площади между этими двумя параболами. Для этого мы вычислим интеграл от разности функций между этими границами:

Площадь S = ∫[x₁, x₂] (верхняя функция - нижняя функция) dx

В данном случае верхней функцией является y = x² - 2x - 4, а нижней - y = -x². Таким образом, площадь будет равна:

S = ∫[-1, 2] ((x² - 2x - 4) - (-x²)) dx

Упростим выражение:

S = ∫[-1, 2] (2x² - 2x - 4) dx

Теперь вычислим интеграл:

S = [ (2/3)x³ - x² - 4x ] от -1 до 2

Теперь подставим границы интегрирования:

S = [(2/3)(2)³ - (2)² - 4(2)] - [(2/3)(-1)³ - (-1)² - 4(-1)]

Вычислим каждую часть:

Для x = 2:

(2/3)(8) - 4 - 8 = (16/3) - 4 - 8 = (16/3) - (12/3) - (24/3) = (16 - 12 - 24) / 3 = -20/3

Для x = -1:

(2/3)(-1) - 1 + 4 = (-2/3) - 1 + 4 = (-2/3) - (3/3) + (12/3) = (12 - 3 - 2) / 3 = 7/3

Теперь подставим результаты обратно в формулу площади:

S = (-20/3) - (7/3) = -20/3 - 7/3 = -27/3 = -9

Площадь не может быть отрицательной, поэтому мы берем модуль:

Ответ: Площадь фигуры, ограниченной параболами, равна 9.