Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми: y=sinx; y=cosx; х=0; х=1/2

• 1-1/2
• sin1/2-cos1/2
• sin1/2+cos1/2-1
• 1/2-1

Другие предметы Университет Площадь фигуры, ограниченной кривыми площадь фигуры кривые y=sinx y=cosx математика университет интегралы вычисление площади область интегрирования математические задачи Новый

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми y = sin(x) и y = cos(x), а также вертикальными линиями x = 0 и x = 1/21 - 1/2sin(1/2) - cos(1/2)sin(1/2) + cos(1/2) - 11/2 - 1, нам нужно выполнить несколько шагов.

1. Найти точки пересечения кривых y = sin(x) и y = cos(x):

   Для этого приравняем функции:

   sin(x) = cos(x)

   Это равенство выполняется, когда x = π/4 + kπ, где k - целое число. В пределах от 0 до 1, мы имеем только одну точку пересечения:

   x = π/4.

2. Определить область интегрирования:

   Теперь нам нужно определить, какие функции выше в заданном интервале. Для этого мы можем вычислить значения sin(x) и cos(x) в точке x = π/4:

   • sin(π/4) = √2/2
   • cos(π/4) = √2/2

   Таким образом, в точке x = π/4 функции равны. Теперь проверим значения в других точках, например, в x = 0:

   • sin(0) = 0
   • cos(0) = 1

   Следовательно, cos(x) выше sin(x) на интервале [0, π/4].

3. Вычислить площадь:

   Площадь, ограниченная кривыми, будет равна интегралу разности функций от 0 до π/4:

   Площадь = ∫(cos(x) - sin(x)) dx от 0 до π/4.

4. Вычислить интеграл:

   Рассмотрим интеграл:

   ∫(cos(x) - sin(x)) dx = sin(x) + cos(x) + C.

   Теперь подставим пределы интегрирования:

   • Вычисляем верхний предел: sin(π/4) + cos(π/4) = √2/2 + √2/2 = √2.
   • Вычисляем нижний предел: sin(0) + cos(0) = 0 + 1 = 1.

   Теперь найдем разность:

   Площадь = √2 - 1.

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной заданными кривыми, равна √2 - 1.