Похожие вопросы
2025-09-04 17:45:00
Найдите ∫ √(x)dx / (1 + x)
- 2 ⋅ (√x − arctg√x) + C
- √x − arctg√x + C
- 1/2 ⋅ (√x − arctg√x) + C
Другие предметы Университет Интегралы и интегральное исчисление высшая математика интегралы университет математический анализ вычисление интегралов учебные материалы подготовка к экзаменам математические формулы решение интегралов математические задачи
2025-09-04 17:45:12
Чтобы решить интеграл ∫ √(x) dx / (1 + x), давайте разобьем его на несколько шагов.
- Подстановка: Заменим переменную. Пусть t = √x, тогда x = t² и dx = 2t dt. Таким образом, интеграл преобразуется следующим образом:
- ∫ √(x) dx / (1 + x) = ∫ t * (2t dt) / (1 + t²) = ∫ (2t²) / (1 + t²) dt.
Теперь у нас есть интеграл, который можно упростить:
- Упрощение интеграла: Мы можем разбить дробь:
- ∫ (2t²) / (1 + t²) dt = ∫ (2 - (2 / (1 + t²))) dt.
Теперь мы можем интегрировать каждую из частей:
- ∫ 2 dt = 2t + C1, где C1 - произвольная константа.
- ∫ (2 / (1 + t²)) dt = 2 arctg(t) + C2, где C2 - другая произвольная константа.
Таким образом, мы получаем:
∫ (2t²) / (1 + t²) dt = 2t - 2 arctg(t) + C, где C = C1 + C2.
Теперь подставим обратно значение t = √x:
Итак, наш интеграл равен:
2√x - 2 arctg(√x) + C.
Таким образом, окончательный ответ:
∫ √(x) dx / (1 + x) = 2√x - 2 arctg(√x) + C.