Неопределенный интеграл ∫ dx / (x² + 4x + 5) равен …

• arcsin(x+2)+C
• arctg(x+2)+C
• sin(x+2)+C

Другие предметы Университет Неопределенные интегралы неопределенный интеграл математика университет интегралы функции решение интеграла arcsin arctg sin x² + 4x + 5 Новый

Для нахождения неопределенного интеграла ∫ dx / (x² + 4x + 5) начнем с упрощения выражения в знаменателе.

1. Сначала разложим квадратный трёхчлен x² + 4x + 5 на полный квадрат. Для этого найдем дискриминант:

• Дискриминант D = b² - 4ac = 4² - 4 * 1 * 5 = 16 - 20 = -4.

Так как дискриминант отрицательный, мы не можем разложить его на множители с действительными корнями, но можем записать его в виде полного квадрата:

2. Полный квадрат: x² + 4x + 5 = (x + 2)² + 1.

Теперь наш интеграл можно переписать как:

∫ dx / ((x + 2)² + 1)

3. Теперь заметим, что это стандартная форма для интеграла, который можно решить с помощью обратной тригонометрической функции. Мы знаем, что:

∫ dx / (x² + a²) = (1/a) * arctg(x/a) + C

где a = 1 в нашем случае. Теперь подставим:

4. Применяя формулу, получаем:

∫ dx / ((x + 2)² + 1) = arctg(x + 2) + C.

Таким образом, ответ на интеграл ∫ dx / (x² + 4x + 5) равен:

arctg(x + 2) + C.

Ответы, которые вы привели (arcsin, sin), не подходят, так как мы использовали правильную тригонометрическую подстановку и пришли к правильному результату.