Деепричастные обороты – это особая конструкция в русском языке, которая описывает действие, происходящее одновременно с действием, выраженным в основном предложении. Однако важно, чтобы деепричастный оборот правильно согласовывался с подлежащим основного предложения. Рассмотрим предложенные варианты и выявим ошибки.

1. Поселившись в деревне, его мечта осталась прежней.

   Ошибка заключается в несоответствии подлежащего и деепричастного оборота. Деепричастный оборот "поселившись в деревне" относится к неопределенному лицу, а "его мечта" – это третье лицо. Правильнее было бы сказать: "Поселившись в деревне, я/мы/он/она сохранил(а) свою мечту прежней".

2. Начав читать новую книгу, она затягивает меня и заставляет думать.

   В этом предложении также наблюдается несоответствие. Деепричастный оборот "начав читать новую книгу" относится к лицу, которое читает, а "она" – это книга. Правильный вариант: "Начав читать новую книгу, я/мы/он/она затянул(а) меня и заставил(а) думать".

3. Убедившись в своей беспомощности, герою пришлось перерезать верёвку.

   Здесь также наблюдается ошибка. Деепричастный оборот "убедившись в своей беспомощности" не согласуется с подлежащим "герою". Правильный вариант: "Убедившись в своей беспомощности, он/она/герой перерезал(а) верёвку".

Таким образом, неверно построенные деепричастные обороты в предложениях 1, 2 и 3. Четвертое предложение "Прочитав рассказ, я задумался" является правильным, так как деепричастный оборот "прочитав рассказ" согласуется с подлежащим "я".