Чтобы найти общее решение данного дифференциального уравнения, сначала нужно определить его характер. Уравнение имеет вид:

y^(5) + 8y''' + 16y' = 0

Это линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Для решения такого уравнения мы используем характеристическое уравнение. Давайте разберём шаги решения:

1. Составление характеристического уравнения:
   • Для уравнения y^(5) + 8y''' + 16y' = 0 характеристическое уравнение будет: m^5 + 8m^3 + 16m = 0.
2. Решение характеристического уравнения:
   • Выносим общий множитель m: m(m^4 + 8m^2 + 16) = 0.
   • Первый корень очевиден: m = 0.
   • Оставшееся уравнение: m^4 + 8m^2 + 16 = 0.
   • Это уравнение можно рассматривать как квадратное относительно m^2: (m^2)^2 + 8(m^2) + 16 = 0.
   • Решаем его как квадратное уравнение: m^2 = (-8 ± √(64 - 64))/2 = -4.
   • Таким образом, m^2 = -4, что даёт комплексные корни: m = ±2i.
3. Запись общего решения:
   • Для каждого корня m = 0 и m = ±2i, мы записываем соответствующие решения.
   • Корень m = 0 даёт постоянное решение: C1.
   • Комплексные корни m = ±2i дают решения вида: C2*cos(2x) + C3*sin(2x).
   • Поскольку m = ±2i имеет кратность 2, добавляем линейные множители: (C4 + C5x)cos(2x) + (C6 + C7x)sin(2x).

Таким образом, общее решение данного уравнения будет:

C1 + (C2 + C3x)cos(2x) + (C4 + C5x)sin(2x)

Это соответствует одному из предложенных вариантов:

C1 + (C2 + C3x)cos(2x) + (C4 + C5x)sin(2x)

Если у вас есть вопросы по конкретным шагам или если что-то осталось непонятным, пожалуйста, дайте знать!