Определение б.б. функций. Теорема об их связи с б.м. функциями.

Другие предметы Университет Бесконечно малые и бесконечно большие функции математический анализ определение б.б. функций теорема б.м. функций связь б.б. и б.м. функций университет курсы матанализа Новый

Определение б. б. функций:

Бесконечно большие функции (б. б. функции) – это функции, которые стремятся к бесконечности по мере того, как их аргумент стремится к какому-либо значению (например, к бесконечности). Формально, если f(x) – это функция, то мы говорим, что f(x) является бесконечно большой функцией, если:

• Для любого положительного числа M существует такое число x0, что для всех x > x0 выполняется неравенство |f(x)| > M.

Это означает, что f(x) может принимать произвольно большие значения, если x достаточно велико.

Определение б. м. функций:

Бесконечно малые функции (б. м. функции) – это функции, которые стремятся к нулю по мере того, как их аргумент стремится к какому-либо значению. Формально, если g(x) – это функция, то g(x) является бесконечно малой функцией, если:

• Для любого положительного числа ε существует такое число x0, что для всех x > x0 выполняется неравенство |g(x)| < ε.

Это означает, что g(x) может принимать произвольно малые значения, если x достаточно велико.

Связь между б. б. и б. м. функциями:

Существует важная теорема, которая связывает бесконечно большие и бесконечно малые функции. Эта теорема утверждает, что:

• Если f(x) – бесконечно большая функция, то её обратная функция 1/f(x) (при условии, что f(x) не равна нулю) является бесконечно малой функцией.
• Если g(x) – бесконечно малая функция, то её обратная функция 1/g(x) (при условии, что g(x) не равна нулю) является бесконечно большой функцией.

Пример:

1. Рассмотрим функцию f(x) = x. Эта функция является бесконечно большой, так как при x → ∞, f(x) → ∞.
2. Теперь рассмотрим функцию g(x) = 1/x. Эта функция является бесконечно малой, так как при x → ∞, g(x) → 0.
3. Заметим, что 1/f(x) = 1/x, что подтверждает связь между б. б. и б. м. функциями.

Таким образом, понимание этих понятий и их взаимосвязи является важным инструментом в математическом анализе, особенно при работе с пределами и асимптотическим анализом.