Определитель квадратной матрицы равен … произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения

Другие предметы Университет Определитель матрицы определитель квадратной матрицы квадратная матрица алгебраические дополнения произведение элементов строки математика университет Новый

Определитель квадратной матрицы действительно можно выразить через произведения элементов любой строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. Давайте разберем этот процесс более подробно.

Что такое алгебраическое дополнение?

Алгебраическое дополнение элемента матрицы - это определитель матрицы, полученной из исходной матрицы путем удаления строки и столбца, в которых находится этот элемент, с учетом знака. Если элемент находится на четной позиции, его знак положительный, если на нечетной - отрицательный.

Как вычисляется определитель?

Определитель квадратной матрицы может быть найден с использованием следующего процесса:

1. Выберите любую строку или столбец матрицы. Это будет основа для вычисления определителя.
2. Для каждого элемента выбранной строки (или столбца) найдите его алгебраическое дополнение.
3. Умножьте каждый элемент на его алгебраическое дополнение.
4. Сложите все полученные произведения, учитывая знаки (положительные и отрицательные) в зависимости от позиции элемента.

Пример:

Рассмотрим матрицу A:

A =
| 1 2 3 |
| 0 1 4 |
| 5 6 0 |

Для вычисления определителя этой матрицы, мы можем использовать первую строку:

• Элемент 1: его алгебраическое дополнение - определитель матрицы, полученной удалением первой строки и первого столбца: | 1 4 | = 1*0 - 4*6 = -24. Умножаем: 1 * (-24) = -24.
• Элемент 2: его алгебраическое дополнение - определитель матрицы, полученной удалением первой строки и второго столбца: | 0 4 | = 0*0 - 4*5 = -20. Умножаем: 2 * (-20) = -40.
• Элемент 3: его алгебраическое дополнение - определитель матрицы, полученной удалением первой строки и третьего столбца: | 0 1 | = 0*6 - 1*5 = -5. Умножаем: 3 * (-5) = -15.

Теперь складываем все произведения, учитывая знаки:

Определитель = -24 - 40 - 15 = -79.

Таким образом, определитель матрицы A равен -79, и мы видим, как он связан с произведениями элементов строки и их алгебраическими дополнениями.