Ожидается, что при добавлении специальных веществ жесткость воды уменьшается. По оценкам жесткости воды до и после добавления специальных веществ по 40 и 50 пробам соответственно получили средние значения жесткости (в стандартных единицах), равные 4,0 и 3,8. Дисперсия измерений в обоих случаях предполагается равной 0,25. Подтверждают ли эти результаты ожидаемый эффект? Принять α = 0,05. Контролируемый признак имеет нормальное распределение

Другие предметы Университет Тестирование гипотез теория вероятностей математическая статистика университет жёсткость воды специальные вещества средние значения дисперсия нормальное распределение статистический анализ Гипотеза уровень значимости контрольный признак оценка результатов проверка гипотез экспериментальные данные Новый

Для проверки гипотезы о том, что добавление специальных веществ снижает жесткость воды, мы будем использовать метод статистического тестирования. В данном случае мы применим двухвыборочный t-тест для независимых выборок, поскольку у нас есть две группы данных: жесткость воды до и после добавления веществ.

Шаг 1: Формулировка гипотез

• Нулевая гипотеза (H0): Средняя жесткость воды после добавления веществ не меньше, чем до (μ1 - μ2 >= 0).
• Альтернативная гипотеза (H1): Средняя жесткость воды после добавления веществ меньше, чем до (μ1 - μ2 < 0).

Шаг 2: Определение уровня значимости

Уровень значимости α задан как 0,05.

Шаг 3: Расчет статистики теста

Для расчета t-статистики используем следующую формулу:

t = (X1 - X2) / sqrt((S1^2/n1) + (S2^2/n2))

где:

• X1 = 4,0 (средняя жесткость до добавления веществ)
• X2 = 3,8 (средняя жесткость после добавления веществ)
• S1^2 = 0,25 (дисперсия до добавления веществ)
• S2^2 = 0,25 (дисперсия после добавления веществ)
• n1 = 40 (количество проб до добавления веществ)
• n2 = 50 (количество проб после добавления веществ)

Теперь подставим значения в формулу:

t = (4,0 - 3,8) / sqrt((0,25/40) + (0,25/50))

Сначала найдем значение под корнем:

• 0,25/40 = 0,00625
• 0,25/50 = 0,005

Теперь сложим эти значения:

0,00625 + 0,005 = 0,01125

Теперь найдем корень из 0,01125:

sqrt(0,01125) ≈ 0,1061

Теперь подставим это значение в формулу для t:

t = (4,0 - 3,8) / 0,1061 ≈ 1,885

Шаг 4: Определение критической области

Так как мы проводим односторонний тест (проверяем, меньше ли средняя жесткость после добавления веществ), нам нужно найти критическое значение t для 88 степеней свободы (n1 + n2 - 2 = 40 + 50 - 2 = 88) при уровне значимости 0,05.

Согласно таблице критических значений t, критическое значение для 88 степеней свободы и α = 0,05 (односторонний тест) примерно равно -1,661.

Шаг 5: Сравнение t-статистики и критического значения

Мы получили t ≈ 1,885, что больше критического значения -1,661.

Шаг 6: Принятие решения

Поскольку t-статистика не попадает в критическую область (t > -1,661), мы не можем отвергнуть нулевую гипотезу.

Вывод:

Результаты не подтверждают ожидаемый эффект. Мы не имеем достаточных оснований утверждать, что добавление специальных веществ снижает жесткость воды на уровне значимости 0,05.