Правые, левые тройки векторов. Определение векторного произведения векторов. Свойства векторного произведения. Вывод формулы вычисления векторного произведения в ортонормированном базисе.

Другие предметы Университет Векторное произведение векторов линейная алгебра аналитическая геометрия векторные произведения свойства векторов ортонормированный базис правые тройки векторов левые тройки векторов определение векторного произведения Новый

Правые и левые тройки векторов

Векторное произведение векторов определяется только для трехмерного пространства. Для трех векторов A, B и C можно говорить о правой или левой тройке векторов в зависимости от порядка их следования:

• Правая тройка: Векторы A, B, C образуют правую тройку, если, если при повороте вектора A в сторону вектора B, вектор C указывает вверх (по правилу правой руки).
• Левая тройка: Векторы A, B, C образуют левую тройку, если при повороте вектора A в сторону вектора B, вектор C указывает вниз.

Определение векторного произведения

Векторное произведение двух векторов A и B, обозначаемое как A × B, представляет собой вектор, который перпендикулярен обоим векторам A и B. Длина этого вектора равна произведению длин векторов A и B на синус угла между ними:

||A × B|| = ||A|| * ||B|| * sin(θ),

где θ — угол между векторами A и B.

Свойства векторного произведения

• Антикоммутативность: A × B = - (B × A).
• Дистрибутивность
• Скалярное произведение: A × A = 0 (векторное произведение любого вектора с самим собой равно нулю).
• Свойство линейности: (kA) × B = k(A × B), где k — скаляр.

Вывод формулы вычисления векторного произведения в ортонормированном базисе

Рассмотрим три вектора A, B и C в ортонормированном базисе, где:

• A = (a1, a2, a3),
• B = (b1, b2, b3).

Векторное произведение A × B можно вычислить с помощью детерминанта следующей матрицы:

| i j k |

| a1 a2 a3 |

| b1 b2 b3 |

Где i, j, k — единичные векторы базиса. Раскроем детерминант:

1. Компонента по i: (a2 * b3 - a3 * b2) i.
2. Компонента по j: -(a1 * b3 - a3 * b1) j.
3. Компонента по k: (a1 * b2 - a2 * b1) k.

Таким образом, векторное произведение A × B можно записать как:

A × B = ((a2 * b3 - a3 * b2), -(a1 * b3 - a3 * b1), (a1 * b2 - a2 * b1)).

Эта формула позволяет вычислять векторное произведение векторов в ортонормированном базисе, используя их координаты.

1 2 3 4 5