Сформулировать свойство линейности векторного произведения векторов

Другие предметы Университет Векторное произведение векторов свойство линейности векторное произведение векторы линейная алгебра аналитическая геометрия университет Новый

Свойство линейности векторного произведения векторов можно сформулировать следующим образом:

Линейность векторного произведения: Для любых векторов A, B и C, а также для любых скаляров k и m выполняются следующие свойства:

• Векторное произведение линейно по отношению к первому вектору:
• (kA + mB) × C = k(A × C) + m(B × C)
• Векторное произведение линейно по отношению ко второму вектору:
• A × (kB + mC) = k(A × B) + m(A × C)

Это означает, что если мы берем линейную комбинацию векторов, то векторное произведение с другим вектором также можно выразить как линейную комбинацию векторных произведений.

Пример: Пусть у нас есть векторы A = (1, 2, 3), B = (4, 5, 6) и C = (7, 8, 9). Если мы рассмотрим комбинацию kA + mB, где k = 2 и m = 3, то:

1. Сначала найдем kA + mB:
2. kA = 2(1, 2, 3) = (2, 4, 6)
3. mB = 3(4, 5, 6) = (12, 15, 18)
4. Теперь сложим эти векторы: (2, 4, 6) + (12, 15, 18) = (14, 19, 24)
5. Теперь найдем (kA + mB) × C = (14, 19, 24) × (7, 8, 9).
6. Согласно свойству линейности, это должно быть равно 2(A × C) + 3(B × C).

Таким образом, свойство линейности векторного произведения позволяет нам работать с векторными произведениями более удобно и эффективно, особенно в задачах, требующих манипуляций с векторами.