В теории игр матричная игра представляет собой стратегическую ситуацию, в которой два игрока выбирают стратегии, и результат (или цена игры) определяется матрицей, где строки соответствуют стратегиям одного игрока, а столбцы - стратегиям другого игрока.

Если все элементы матрицы положительны, это означает, что в каждой комбинации стратегий обоих игроков результат будет положительным. Давайте рассмотрим, как мы можем проанализировать такую игру и определить цену игры.

1. Определение матрицы игры:

   Сначала мы должны записать матрицу, где каждый элемент a_ij представляет собой выигрыш первого игрока (или стоимость для второго игрока) при выборе i-й стратегии первым игроком и j-й стратегией вторым игроком.

2. Поиск смешанных стратегий:

   Обычно в матричных играх игроки могут использовать смешанные стратегии, то есть случайным образом выбирать свои стратегии с определенными вероятностями. Для нахождения оптимальных смешанных стратегий можно использовать метод линейного программирования или метод равновесия Нэша.

3. Определение цены игры:

   Цена игры - это минимальный выигрыш, который может гарантировать один из игроков, независимо от выбора другого игрока. Это значение можно найти, анализируя стратегические смешанные стратегии обоих игроков и рассчитывая ожидаемые выигрыши.

4. Анализ равновесия:

   Необходимо определить, существует ли равновесие Нэша в этой игре. Это равновесие достигается, когда ни один из игроков не может улучшить свой выигрыш, изменив свою стратегию, если другой игрок сохраняет свою стратегию.

Таким образом, для матричной игры с положительными элементами мы можем использовать указанные шаги для анализа ситуации и нахождения цены игры. Важно помнить, что в таких играх цена игры будет положительной, что означает, что оба игрока могут получить выгоду от участия в игре, если они правильно выберут свои стратегии.