Верно ли, что если функция интегрируема на отрезке, то она ограничена?

• Да
• Нет

Другие предметы Университет Интеграция функций математический анализ интегрируемая функция ограниченность функции свойства интегрируемых функций теорема о ограниченности функции Новый

Ответ: Да, верно. Если функция интегрируема на отрезке, то она ограничена.

Объяснение:

Чтобы понять, почему это так, давайте рассмотрим основные понятия, связанные с интегрируемостью функции и ограниченностью.

• Интегрируемость функции: Функция f(x) называется интегрируемой на отрезке [a, b], если ее определенный интеграл существует. Это означает, что можно вычислить площадь под графиком функции на этом отрезке.
• Ограниченность функции: Функция f(x) называется ограниченной на отрезке [a, b], если существует такое число M, что для всех x из [a, b] выполняется неравенство |f(x)| ≤ M.

Теперь докажем, что интегрируемая функция на отрезке [a, b] является ограниченной:

1. Предположим, что функция f(x) интегрируема на [a, b]. Это значит, что существует ее определенный интеграл, который можно вычислить.
2. Если бы функция f(x) была неограниченной на отрезке [a, b], то это означало бы, что для любого числа M можно найти точку x0 из [a, b], такую что |f(x0)| > M. В этом случае, при вычислении интеграла, мы столкнулись бы с проблемой, поскольку площадь под графиком функции могла бы стремиться к бесконечности.
3. Таким образом, если функция интегрируема, она не может быть неограниченной, так как это противоречит существованию определенного интеграла.

Следовательно, мы можем заключить, что если функция интегрируема на отрезке, то она обязательно ограничена. Это важное свойство, которое используется во многих разделах математического анализа.