Верно ли сформирована теорема Ролля: "если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале, то внутри отрезка найдется точка, в которой производная этой функции равна нулю"

Другие предметы Университет Теорема Ролля теорема Ролля математический анализ непрерывная функция дифференцируемая функция производная функции точка с нулевой производной Новый

Да, теорема Ролля сформулирована верно, но давайте подробнее разберем ее условия и следствия.

Условия теоремы Ролля:

• Функция непрерывна на замкнутом отрезке [a, b].
• Функция дифференцируема на открытом интервале (a, b).
• Значения функции на концах отрезка равны: f(a) = f(b).

Следствия теоремы Ролля:

Если все три условия выполнены, то существует хотя бы одна точка c в интервале (a, b) такая, что производная функции в этой точке равна нулю: f'(c) = 0.

Почему это важно:

1. Теорема Ролля используется для доказательства других теорем, таких как теорема Лагранжа о среднем значении.
2. Она помогает в анализе поведения функций, например, в нахождении экстремумов.

Таким образом, теорема Ролля действительно верна, и ее правильное применение требует соблюдения всех указанных условий. Если какое-либо из условий не выполнено, теорема может не сработать.