Вследствие отказа тормозного устройства бадья массой 31 кг, поднимаемая воротом (простейшей лебедкой), начала падение. Найти ускорение, с которым падает бадья, если барабан лебедки моделируется однородным цилиндром массой 16 кг и радиусом 0.2 м. Принять g = 9.81 м/с2

Другие предметы Университет Динамика вращательного движения теоретическая механика университет бадья лебедка ускорение падения однородный цилиндр масса радиус гравитация механика физика динамика задачи по механике учебные материалы инженерные науки Новый

Для решения этой задачи нам нужно рассмотреть систему, состоящую из бадьи и барабана лебедки. Мы будем использовать второй закон Ньютона и закон вращения для барабана. Давайте разберем шаги решения:

1. Определим силы, действующие на бадью:
   • Вес бадьи: W = m_b * g, где m_b = 31 кг - масса бадьи, g = 9.81 м/с² - ускорение свободного падения.
   • Сила натяжения в тросе: T (это сила, которая будет действовать на бадью вверх).
2. Запишем уравнение движения для бадьи:

   Согласно второму закону Ньютона, для бадьи можно записать:

   m_b * a = W - T, где a - ускорение бадьи.

3. Запишем уравнение вращения для барабана:
   • Момент силы, действующий на барабан: M = T * r, где r = 0.2 м - радиус барабана.
   • Угловое ускорение барабана связано с линейным ускорением бадьи: a = α * r, где α - угловое ускорение.
   • Используя момент инерции однородного цилиндра: I = (1/2) * m_c * r², где m_c = 16 кг - масса барабана, мы можем записать: M = I * α.
   • Подставляем I и α: T * r = (1/2) * m_c * r² * (a/r).
   • Упрощаем уравнение: T = (1/2) * m_c * a.
4. Теперь подставим выражение для T в уравнение движения бадьи:

   m_b * a = W - (1/2) * m_c * a.

   Подставим W: m_b * a = m_b * g - (1/2) * m_c * a.

5. Соберем все члены, содержащие a:

   (m_b + (1/2) * m_c) * a = m_b * g.

6. Решим уравнение для a:

   a = (m_b * g) / (m_b + (1/2) * m_c).

7. Подставим известные значения:
   • m_b = 31 кг
   • m_c = 16 кг
   • g = 9.81 м/с²

   a = (31 * 9.81) / (31 + (1/2) * 16) = (304.11) / (31 + 8) = 304.11 / 39.

8. Вычислим значение:

   a ≈ 7.8 м/с².

Ответ: Ускорение, с которым падает бадья, составляет примерно 7.8 м/с².