Для решения этой задачи нам нужно рассмотреть систему, состоящую из бадьи и барабана лебедки. Мы будем использовать второй закон Ньютона и закон вращения для барабана. Давайте разберем шаги решения:

1. Определим силы, действующие на бадью:
   • Вес бадьи: W = m_b * g, где m_b = 31 кг - масса бадьи, g = 9.81 м/с² - ускорение свободного падения.
   • Сила натяжения в тросе: T (это сила, которая будет действовать на бадью вверх).
2. Запишем уравнение движения для бадьи:

   Согласно второму закону Ньютона, для бадьи можно записать:

   m_b * a = W - T, где a - ускорение бадьи.

3. Запишем уравнение вращения для барабана:
   • Момент силы, действующий на барабан: M = T * r, где r = 0.2 м - радиус барабана.
   • Угловое ускорение барабана связано с линейным ускорением бадьи: a = α * r, где α - угловое ускорение.
   • Используя момент инерции однородного цилиндра: I = (1/2) * m_c * r², где m_c = 16 кг - масса барабана, мы можем записать: M = I * α.
   • Подставляем I и α: T * r = (1/2) * m_c * r² * (a/r).
   • Упрощаем уравнение: T = (1/2) * m_c * a.
4. Теперь подставим выражение для T в уравнение движения бадьи:

   m_b * a = W - (1/2) * m_c * a.

   Подставим W: m_b * a = m_b * g - (1/2) * m_c * a.

5. Соберем все члены, содержащие a:

   (m_b + (1/2) * m_c) * a = m_b * g.

6. Решим уравнение для a:

   a = (m_b * g) / (m_b + (1/2) * m_c).

7. Подставим известные значения:
   • m_b = 31 кг
   • m_c = 16 кг
   • g = 9.81 м/с²

   a = (31 * 9.81) / (31 + (1/2) * 16) = (304.11) / (31 + 8) = 304.11 / 39.

8. Вычислим значение:

   a ≈ 7.8 м/с².

Ответ: Ускорение, с которым падает бадья, составляет примерно 7.8 м/с².