Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми: х=4; у=х; ху=4

• 14
• 5+In4
• 1+In4
• 35
• 6-4In2

Другие предметы Университет Площадь фигур, ограниченных кривыми математический анализ площадь фигуры кривые вычисление площади университетские задачи интегралы графики функций ограниченные области Новый

Для вычисления площади фигуры, ограниченной кривыми, сначала определим эти кривые:

• Кривая 1: x = 4 — это вертикальная прямая, проходящая через точку x = 4.
• Кривая 2: y = x — это прямая линия, которая проходит через начало координат и имеет угловой коэффициент 1.
• Кривая 3: xy = 4 — это гипербола. Мы можем выразить y через x: y = 4/x.

Теперь найдем точки пересечения этих кривых, чтобы определить границы интегрирования.

1. Пересечение x = 4 и y = x:
   • Подставляем x = 4 в y = x: y = 4.
   • Точка пересечения: (4, 4).
2. Пересечение x = 4 и xy = 4:
   • Подставляем x = 4 в xy = 4: 4y = 4, отсюда y = 1.
   • Точка пересечения: (4, 1).
3. Пересечение y = x и xy = 4:
   • Подставляем y = x в xy = 4: x^2 = 4, отсюда x = 2 или x = -2.
   • Так как нас интересует только положительная область, берем x = 2, следовательно, y = 2.
   • Точка пересечения: (2, 2).

Теперь у нас есть три точки пересечения: (4, 4), (4, 1) и (2, 2). Мы можем построить фигуру, ограниченную этими кривыми, и определить ее площадь.

Площадь фигуры можно вычислить с помощью интегрирования. Площадь S будет равна:

S = интеграл от x = 2 до x = 4 (y_верх - y_низ) dx

Где:

• y_верх = y = x (прямая)
• y_низ = y = 4/x (гипербола)

Теперь подставляем:

S = интеграл от 2 до 4 (x - 4/x) dx

Теперь вычислим интеграл:

1. Интеграл от x: интеграл(x) = (x^2)/2
2. Интеграл от 4/x: интеграл(4/x) = 4 * ln|x|

Таким образом, интеграл будет выглядеть так:

S = [(x^2)/2 - 4 * ln|x|] от 2 до 4.

Теперь подставим пределы интегрирования:

• Вычисляем для x = 4:
• (4^2)/2 - 4 * ln(4) = 8 - 4 * ln(4)
• Вычисляем для x = 2:
• (2^2)/2 - 4 * ln(2) = 2 - 4 * ln(2)

Теперь вычтем результат для x = 2 из результата для x = 4:

S = (8 - 4 * ln(4)) - (2 - 4 * ln(2)) = 6 - 4 * ln(4) + 4 * ln(2)

Используя свойства логарифмов, ln(4) = 2 * ln(2), получаем:

S = 6 - 4 * (2 * ln(2)) + 4 * ln(2) = 6 - 8 * ln(2) + 4 * ln(2) = 6 - 4 * ln(2).

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной заданными кривыми, равна:

S = 6 - 4 * ln(2).

Теперь перейдем ко второй части вашего вопроса: 145 + ln(41) + ln(4356) - 4ln(2).

Сначала упростим выражение ln(4356):

• ln(4356) = ln(2^2 * 3^2 * 11^2) = 2(ln(2) + ln(3) + ln(11)).

Теперь подставим это значение в выражение:

145 + ln(41) + 2(ln(2) + ln(3) + ln(11)) - 4ln(2) = 145 + ln(41) + 2ln(3) + 2ln(11) - 2ln(2).

Таким образом, окончательное выражение будет:

145 + ln(41) + 2ln(3) + 2ln(11) - 2ln(2).