Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями 4y=x^2 и y^2=4x

• 16/3
• 3/16
• 16
• 3

Другие предметы Университет Площадь фигур, ограниченных кривыми высшая математика университет площадь фигуры линии 4y=x^2 y^2=4x вычисление площади математические задачи интегралы графики функций математический анализ Новый

Для вычисления площади фигуры, ограниченной кривыми 4y = x^2 и y^2 = 4x, необходимо сначала определить точки пересечения этих двух кривых.

Шаг 1: Найдем точки пересечения кривых.

У нас есть два уравнения:

• 4y = x^2
• y^2 = 4x

Из первого уравнения выразим y:

• y = x^2 / 4

Теперь подставим это значение y во второе уравнение:

(x^2 / 4)^2 = 4x

Упрощаем уравнение:

• x^4 / 16 = 4x
• x^4 - 64x = 0

Теперь вынесем x за скобки:

• x(x^3 - 64) = 0

Это уравнение имеет два решения:

• x = 0
• x^3 - 64 = 0, что дает x = 4

Теперь найдем соответствующие значения y для x = 0 и x = 4:

• Для x = 0: y = 0
• Для x = 4: y = 4^2 / 4 = 4

Таким образом, точки пересечения: (0, 0) и (4, 4).

Шаг 2: Вычислим площадь фигуры.

Площадь между кривыми можно найти, интегрируя разность верхней и нижней функций от x = 0 до x = 4.

В данном случае верхняя функция - это y = x^2 / 4, а нижняя - y = √(4x) или y = 2√x.

Сначала найдем разность функций:

• f(x) = x^2 / 4 - 2√x

Теперь вычислим площадь:

Площадь S = ∫[0, 4] (x^2 / 4 - 2√x) dx.

Шаг 3: Вычислим интегралы.

Разделим интеграл на два:

• S = ∫[0, 4] (x^2 / 4) dx - ∫[0, 4] (2√x) dx

Теперь вычислим первый интеграл:

• ∫(x^2 / 4) dx = (1/4) * (x^3 / 3) = (1/12)x^3
• Подставляем пределы: (1/12)(4^3) - (1/12)(0^3) = (1/12)(64) = 16/3.

Теперь вычислим второй интеграл:

• ∫(2√x) dx = 2 * (2/3)x^(3/2) = (4/3)x^(3/2)
• Подставляем пределы: (4/3)(4^(3/2)) - (4/3)(0^(3/2)) = (4/3)(8) = 32/3.

Теперь подставим значения в формулу для площади:

S = (16/3) - (32/3) = -16/3.

Так как площадь не может быть отрицательной, мы берем модуль:

Площадь фигуры равна 16/3.

Ответ: Площадь фигуры, ограниченной кривыми 4y = x^2 и y^2 = 4x, равна 16/3.