Вычислите площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: x = 2x – x2 и y = 0

Другие предметы Университет Интегральное исчисление площадь плоской фигуры математический анализ вычисление площади интегралы графики функций области интегрирования линии x и y университетская математика Новый

Чтобы вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной заданными линиями, сначала нужно разобраться с уравнением, которое нам дано: x = 2x - x².

Шаг 1: Упрощение уравнения

Перепишем уравнение:

• Сначала перенесем все члены на одну сторону:

x² - 2x + x = 0

Таким образом, получаем:

x² - x = 0

Шаг 2: Решение уравнения

Теперь можем вынести общий множитель:

x(x - 1) = 0

Это уравнение имеет два корня:

• x = 0
• x = 1

Шаг 3: Определение границ интегрирования

Теперь мы знаем, что фигура ограничена линиями x = 0 и x = 1.

Шаг 4: Построение графика

Линия y = 0 — это ось абсцисс. А уравнение x = 2x - x² можно переписать как y = 2x - x², что является параболой, открытой вниз.

Шаг 5: Вычисление площади

Площадь фигуры, ограниченной кривой и осью, можно найти с помощью интеграла:

Площадь S = ∫(от 0 до 1) (2x - x²) dx

Шаг 6: Вычисление интеграла

Теперь найдем интеграл:

• Интеграл от 2x равен x².
• Интеграл от x² равен x³/3.

Таким образом, имеем:

S = [x² - (x³/3)] (от 0 до 1)

Теперь подставим границы интегрирования:

S = (1² - (1³/3)) - (0² - (0³/3))

S = (1 - 1/3) - 0

S = 1 - 1/3 = 2/3

Ответ: Площадь плоской фигуры, ограниченной линиями, равна 2/3.