В этом предложении нам нужно выбрать правильную форму слова, чтобы оно грамматически и логически подходило к контексту. Давайте рассмотрим каждый вариант:

1. everybody - Это местоимение, которое означает "все" или "каждый". Оно используется как подлежащее или дополнение в предложении, но не может использоваться в притяжательной форме без апострофа.
2. everybodys - Это несуществующая форма. В английском языке нет такой формы притяжательного местоимения.
3. everybody’s - Это правильная притяжательная форма местоимения "everybody". Апостроф и буква "s" добавляются, чтобы показать принадлежность. Это означает "имена всех" или "имена каждого".
4. everybodies - Это также несуществующая форма. В английском языке нет такой формы множественного числа или притяжательной формы для "everybody".

Таким образом, правильный ответ: everybody’s. Полное предложение будет выглядеть так: "Have you written everybody’s names?"