Какова энергия наивысшего уровня, на котором находится хотя бы 1 электрон, в квантовой точке, описываемой моделью потенциального ящика с бесконечными стенками кубической формы со стороной a=5 нм, если в ней находятся 5 электронов с эффективной массой, равной 1/10 массы свободного электрона? Каков полный спин этих 5 электронов в основном состоянии с учётом правил Хунда?

Физика 11 класс Квантовая механика энергия наивысшего уровня квантовая точка потенциальный ящик бесконечные стенки электроны эффективная масса спин правила Хунда физика квантовая механика Новый

Чтобы найти энергию наивысшего уровня, на котором находится хотя бы 1 электрон, в квантовой точке, описываемой моделью потенциального ящика с бесконечными стенками, мы можем воспользоваться формулой для энергии электрона в ящике:

E_n = (h^2 * n^2) / (8 * m * L^2)

где:

• E_n - энергия уровня n;
• h - постоянная Планка (примерно 6.626 x 10^-34 Дж·с);
• n - квантовое число (n = 1, 2, 3,...);
• m - эффективная масса электрона;
• L - длина стороны куба (в нашем случае a = 5 нм = 5 x 10^-9 м).

Эффективная масса электрона в данной задаче равна 1/10 массы свободного электрона. Масса свободного электрона составляет примерно 9.11 x 10^-31 кг, следовательно:

m = (1/10) * 9.11 x 10^-31 кг = 9.11 x 10^-32 кг.

Теперь подставим известные значения в формулу энергии для первых уровней (n = 1, 2, 3, ...). Начнем с первого уровня:

E_1 = (h^2 * 1^2) / (8 * m * a^2)

Подставим значения:

• h = 6.626 x 10^-34 Дж·с;
• m = 9.11 x 10^-32 кг;
• a = 5 x 10^-9 м;

Теперь вычислим E_1:

E_1 = (6.626 x 10^-34)^2 / (8 * 9.11 x 10^-32 * (5 x 10^-9)^2)

После вычислений мы получим:

E_1 ≈ 1.51 x 10^-18 Дж.

Теперь найдем энергию второго уровня (n = 2):

E_2 = (h^2 * 2^2) / (8 * m * a^2) = 4 * E_1.

Таким образом, E_2 ≈ 6.04 x 10^-18 Дж.

Аналогично для третьего уровня (n = 3):

E_3 = (h^2 * 3^2) / (8 * m * a^2) = 9 * E_1.

Таким образом, E_3 ≈ 1.36 x 10^-17 Дж.

Теперь у нас есть 5 электронов, которые будут заполнять уровни согласно принципу Паули и правилам Хунда:

• Первый уровень (n = 1) заполняется 2 электронами;
• Второй уровень (n = 2) заполняется 2 электронами;
• Третий уровень (n = 3) заполняется 1 электроном.

Таким образом, наивысший уровень, на котором находится хотя бы 1 электрон, это третий уровень (n = 3), и его энергия составляет:

E_3 ≈ 1.36 x 10^-17 Дж.

Теперь определим полный спин 5 электронов в основном состоянии с учетом правил Хунда. Поскольку на первом и втором уровнях находятся по 2 электрона, они будут иметь противоположные спины (по 1/2), что дает 0 для этих уровней. На третьем уровне будет находиться 1 электрон со спином +1/2. Таким образом:

Полный спин S = 0 + 0 + 1/2 = 1/2.

Итак, ответ на ваш вопрос:

• Энергия наивысшего уровня: E_3 ≈ 1.36 x 10^-17 Дж;
• Полный спин этих 5 электронов: S = 1/2.