Какова энергия наивысшего уровня, на котором находится хотя бы один электрон, в квантовой точке, описываемой моделью потенциального ящика с бесконечными стенками кубической формы со стороной a=5 нм, если в ней находятся 5 электронов с эффективной массой 1/10 массы свободного электрона? Каков полный спин этих 5 электронов в основном состоянии с учетом правил Хунда?

Физика 11 класс Квантовая механика энергия наивысшего уровня квантовая точка потенциальный ящик бесконечные стенки электроны эффективная масса спин электронов правила Хунда физика квантовой механики электронные уровни Новый

Для решения задачи начнем с определения энергии наивысшего уровня, на котором находится хотя бы один электрон, в модели потенциального ящика с бесконечными стенками.

Шаг 1: Определение энергии уровней в потенциальном ящике

Энергия электронов в кубическом ящике с бесконечными стенками определяется по формуле:

E_n = (h^2 * n^2) / (8 * m * a^2),

где:

• E_n - энергия n-го уровня;
• h - постоянная Планка (6.626 x 10^-34 Дж·с);
• n - квантовое число (n = 1, 2, 3, ...);
• m - эффективная масса электрона;
• a - длина стороны куба.

Эффективная масса электрона в нашем случае равна 1/10 массы свободного электрона:

m = (1/10) * m_0,

где m_0 = 9.11 x 10^-31 кг.

Следовательно, m = 9.11 x 10^-32 кг.

Шаг 2: Подставим известные значения

Теперь подставим значения в формулу:

a = 5 нм = 5 x 10^-9 м.

Энергия для n = 1:

E_1 = (h^2 * 1^2) / (8 * m * a^2) = (6.626 x 10^-34)^2 / (8 * 9.11 x 10^-32 * (5 x 10^-9)^2).

После вычислений мы получим E_1.

Для n = 2, n = 3 и т.д. аналогично:

E_2 = (h^2 * 2^2) / (8 * m * a^2),

E_3 = (h^2 * 3^2) / (8 * m * a^2),

и так далее.

Шаг 3: Заполнение уровней электронами

Электроны заполняют уровни по принципу Паули и правилам Хунда. В основном состоянии с учетом правил Хунда:

• На уровень E_1 могут поместиться 2 электрона;
• На уровень E_2 могут поместиться 2 электрона;
• На уровень E_3 может поместиться 1 электрон.

Таким образом, для 5 электронов мы заполним уровни следующим образом:

• 2 электрона на E_1;
• 2 электрона на E_2;
• 1 электрон на E_3.

Шаг 4: Определение наивысшего уровня

Наивысший уровень, на котором находится хотя бы один электрон, это E_3. Следовательно, энергия наивысшего уровня, на котором находится хотя бы один электрон, будет равна E_3.

Шаг 5: Определение полного спина

Теперь определим полный спин 5 электронов. У нас есть:

2 электрона на E_1 (спин может быть +1/2 и -1/2);

2 электрона на E_2 (также спин +1/2 и -1/2);

1 электрон на E_3 (спин +1/2 или -1/2).

По правилам Хунда, электроны с одинаковыми квантовыми числами занимают разные спиновые состояния, поэтому спины двух электронов на E_1 и E_2 будут компенсированы. В итоге:

• Спин двух электронов на E_1: 0;
• Спин двух электронов на E_2: 0;
• Спин одного электрона на E_3: +1/2.

Таким образом, полный спин системы будет равен +1/2.

Ответ:

• Энергия наивысшего уровня E_3;
• Полный спин 5 электронов в основном состоянии: +1/2.