ДОКАЖИТЕ, ЧТО ЛЮБАЯ СТОРОНА ТРЕУГОЛЬНИКА БОЛЬШЕ РАЗНОСТИ ДВУХ ДРУГИХ СТОРОН?

Геометрия 10 класс Неравенство треугольника доказательство треугольника стороны треугольника свойства треугольников неравенство треугольника геометрия треугольников Новый

Давайте рассмотрим, как можно доказать, что любая сторона треугольника больше разности двух других сторон. Для этого воспользуемся основными свойствами треугольников.

Шаг 1: Обозначим стороны треугольника

Пусть у нас есть треугольник ABC, где стороны обозначены как:

• a - сторона BC;
• b - сторона AC;
• c - сторона AB.

Шаг 2: Сформулируем неравенство

Мы хотим доказать следующее неравенство для каждой стороны:

• a > |b - c|;
• b > |a - c|;
• c > |a - b|.

Шаг 3: Доказательство для стороны a

Начнем с первой стороны a. Мы хотим показать, что:

a > |b - c|.

Рассмотрим два случая:

• Случай 1: b >= c. В этом случае |b - c| = b - c. Тогда:
• a > b - c <=> a + c > b.
• Случай 2: b < c. В этом случае |b - c| = c - b. Тогда:
• a > c - b <=> a + b > c.

В обоих случаях мы видим, что неравенство a > |b - c| выполняется, если треугольник существует (то есть, если сумма любых двух сторон больше третьей стороны).

Шаг 4: Доказательство для сторон b и c

Аналогично, мы можем провести доказательство для сторон b и c:

• Для стороны b: b > |a - c|, что также выполняется, если треугольник существует.
• Для стороны c: c > |a - b|, что также выполняется, если треугольник существует.

Шаг 5: Заключение

Таким образом, мы доказали, что для любого треугольника выполняется следующее:

• Любая сторона треугольника больше разности двух других сторон.

Это свойство является основополагающим для существования треугольника и подтверждает неравенство треугольника.