Из точки D, находящейся вне плоскости α, проведены наклонные DK и DB к этой плоскости, которые образуют углы 45° и 60° соответственно. Какова длина проекции наклонной DK на плоскость α, если длина DB равна 10 корней из 3?

Геометрия 10 класс Проекции наклонных на плоскость геометрия проекция наклонные плоскость длина угол задача решение Углы треугольник длина DB длина DK геометрические фигуры свойства формулы Новый

Чтобы найти длину проекции наклонной DK на плоскость α, нам нужно воспользоваться свойствами углов и проекций в пространстве. Давайте разберем решение по шагам.

Шаг 1: Определим длину наклонной DB и угол с плоскостью α.

Нам известно, что длина наклонной DB равна 10 корней из 3, и угол между наклонной DB и плоскостью α равен 60°. Мы можем найти проекцию наклонной DB на плоскость α, используя формулу:

Проекция = Длина наклонной * cos(угол).

Шаг 2: Найдем проекцию DB на плоскость α.

Подставим значения:

• Длина наклонной DB = 10√3
• Угол = 60°

Теперь вычислим:

Проекция DB = 10√3 * cos(60°).

Зная, что cos(60°) = 0.5, получаем:

Проекция DB = 10√3 * 0.5 = 5√3.

Шаг 3: Найдем длину проекции наклонной DK на плоскость α.

Теперь перейдем к наклонной DK, которая образует угол 45° с плоскостью α. Мы можем использовать ту же формулу для нахождения проекции:

Проекция DK = Длина наклонной DK * cos(45°).

Шаг 4: Найдем длину наклонной DK.

Чтобы найти длину наклонной DK, мы можем использовать соотношение между углами и длинами наклонных. Поскольку угол между наклонной DK и плоскостью α равен 45°, мы знаем, что:

tan(45°) = h / x, где h - высота (перпендикуляр от D до плоскости α), а x - длина проекции DK на плоскость.

Так как tan(45°) = 1, то h = x.

Шаг 5: Связь между проекциями.

Мы также знаем, что:

h = 10√3 * sin(60°).

Здесь sin(60°) = √3/2, следовательно:

h = 10√3 * √3/2 = 15.

Так как h = x, то x = 15.

Шаг 6: Найдем проекцию DK.

Теперь подставим значение x в формулу для проекции DK:

Проекция DK = Длина наклонной DK * cos(45°).

Так как cos(45°) = √2/2, мы можем выразить длину наклонной DK как:

Длина DK = 15 * √2.

Шаг 7: Найдем проекцию DK.

Теперь подставим в формулу:

Проекция DK = (15 * √2) * √2/2 = 15.

Ответ: Длина проекции наклонной DK на плоскость α равна 15.