Для доказательства равенства углов AA1B1 и ABB1 в остроугольном треугольнике ABC, где AA1 и BB1 - высоты, пересекающиеся в точке E, мы можем воспользоваться свойствами углов и треугольников. Давайте рассмотрим шаги этого доказательства:

1. Определим углы: Угол AA1B1 - это угол между высотой AA1 и линией BB1, а угол ABB1 - это угол между высотой BB1 и стороной AB.
2. Используем свойства высот: Поскольку AA1 и BB1 являются высотами треугольника ABC, они перпендикулярны основаниям треугольника. Это означает, что угол A1AE и угол B1BE равны 90 градусам.
3. Рассмотрим треугольник AEB1: В этом треугольнике угол AEB1 равен углу ABB1 (так как они оба являются углами, образованными высотой BB1 и стороной AB).
4. Рассмотрим треугольник B1EA: В этом треугольнике угол B1EA равен углу AA1B1 (так как они оба являются углами, образованными высотой AA1 и стороной AB).
5. Сравниваем углы: Мы видим, что угол AEB1 и угол B1EA являются вертикальными углами, а значит, они равны. Таким образом, мы можем записать:
   • угол AEB1 = угол ABB1
   • угол B1EA = угол AA1B1
6. Заключение: Так как оба угла (AA1B1 и ABB1) равны углу AEB1 и угол B1EA, мы можем сделать вывод, что угол AA1B1 равен углу ABB1.

Таким образом, мы доказали, что углы AA1B1 и ABB1 равны, используя свойства высот и углов в треугольниках.