Как можно найти объём правильной четырёхугольной пирамиды, если известны высота пирамиды h и угол φ, который образует боковая грань с плоскостью основания?

Геометрия 10 класс Объем правильной четырехугольной пирамиды объём правильной четырёхугольной пирамиды высота пирамиды угол φ боковая грань плоскость основания геометрия формулы объёма свойства пирамиды Новый

Чтобы найти объём правильной четырёхугольной пирамиды, зная высоту пирамиды h и угол φ, который образует боковая грань с плоскостью основания, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберём их по порядку.

Шаг 1: Определение основания

• Правильная четырёхугольная пирамида имеет квадратное основание. Обозначим сторону квадрата основания как a.

Шаг 2: Связь между высотой и углом

• Угол φ — это угол между боковой гранью и плоскостью основания. Мы можем использовать тригонометрию для нахождения высоты боковой грани.
• В правом треугольнике, образованном высотой h, половиной стороны основания (a/2) и наклонной боковой гранью, угол φ связан с высотой и половиной стороны следующим образом:

tan(φ) = (a/2) / h

Шаг 3: Выражение стороны основания

• Из этого уравнения можем выразить сторону основания a:

a = 2h * tan(φ)

Шаг 4: Площадь основания

• Теперь мы можем найти площадь основания S:

S = a² = (2h * tan(φ))² = 4h² * tan²(φ)

Шаг 5: Формула для объёма пирамиды

• Объём V правильной пирамиды можно найти по формуле:

V = (1/3) * S * h

Шаг 6: Подставляем значение площади основания

• Теперь подставим значение площади основания S в формулу для объёма:

V = (1/3) * (4h² * tan²(φ)) * h = (4/3) * h³ * tan²(φ)

Заключение

Таким образом, объём правильной четырёхугольной пирамиды можно выразить как:

V = (4/3) * h³ * tan²(φ)

Теперь вы знаете, как найти объём правильной четырёхугольной пирамиды, зная высоту и угол между боковой гранью и основанием!