Как можно найти площадь треугольника, если его периметр равен 21 см, а одна из биссектрис делит противоположную сторону на отрезки длиной 4 см и 3 см?

Геометрия 10 класс Биссектрисы треугольника площадь треугольника периметр 21 см биссектрисы отрезки 4 см и 3 см геометрия 10 класс Новый

Чтобы найти площадь треугольника, зная его периметр и длины отрезков, на которые биссектрису делит сторона, можно воспользоваться формулой Герона и свойствами биссектрисы.

Давайте разберем решение по шагам:

1. Найдите длину стороны, на которую делит биссектрису.

   Пусть A, B и C - вершины треугольника, а сторона BC делится биссектрисой AD на отрезки BE и EC, где BE = 4 см и EC = 3 см. Тогда длина стороны BC равна:

   BC = BE + EC = 4 см + 3 см = 7 см.

2. Обозначьте стороны треугольника.

   Пусть a = BC = 7 см, b = CA, c = AB. Известно, что периметр P треугольника равен 21 см:

   P = a + b + c = 21 см.

   Так как a = 7 см, то b + c = 21 см - 7 см = 14 см.

3. Используйте свойства биссектрисы.

   Согласно свойству биссектрисы, отношение отрезков, на которые она делит сторону, равно отношению прилежащих сторон:

   BE / EC = AB / AC, то есть 4 / 3 = c / b.

   Из этого соотношения можно выразить c через b:

   c = (4/3) * b.

4. Подставьте выражение для c в уравнение для периметра.

   Теперь подставим c в уравнение b + c = 14 см:

   b + (4/3) * b = 14 см.

   (1 + 4/3) * b = 14 см.

   (7/3) * b = 14 см.

   b = 14 см * (3/7) = 6 см.

   Теперь найдем c:

   c = (4/3) * 6 см = 8 см.

5. Теперь известны все стороны треугольника.

   Итак, у нас есть:

   • a = 7 см,
   • b = 6 см,
   • c = 8 см.
6. Найдите площадь треугольника по формуле Герона.

   Сначала найдем полупериметр:

   s = P / 2 = 21 см / 2 = 10.5 см.

   Теперь используем формулу Герона для нахождения площади S:

   S = √(s * (s - a) * (s - b) * (s - c)).

   Подставим значения:

   S = √(10.5 * (10.5 - 7) * (10.5 - 6) * (10.5 - 8)).

   S = √(10.5 * 3.5 * 4.5 * 2.5).

   Теперь вычислим это значение:

   S = √(10.5 * 3.5 * 4.5 * 2.5) = √(10.5 * 39.375) = √(413.4375) ≈ 20.3 см².

Таким образом, площадь треугольника составляет примерно 20.3 см².