В остроугольном треугольнике АВС медианы ВМ и AL пересекаются в точке 2. Прямая CQ пересекает сторону АВ в точке Е. Известно, что АМ равно АЕ. AQ перпендикулярно ЕМ. Как можно доказать, что AQ является биссектрисой?

Геометрия 10 класс Биссектрисы треугольника остроугольный треугольник медианы биссектрисы доказательство геометрия треугольники свойства треугольников перпендикулярность точки пересечения равенство отрезков Новый

Для доказательства того, что отрезок AQ является биссектрисой угла A, давайте рассмотрим данную ситуацию более подробно. Мы знаем, что:

• Треугольник ABC остроугольный.
• Медианы BM и AL пересекаются в точке O.
• AM равно AE.
• AQ перпендикулярно EM.

Теперь мы можем использовать свойства треугольников и медиан для доказательства.

1. Поскольку AM равно AE: Это значит, что точка E делит отрезок AM пополам. Таким образом, AE = AM.
2. Используем свойства перпендикуляров: Поскольку AQ перпендикулярно EM, это означает, что угол AQM равен 90 градусам.
3. Рассмотрим треугольники AEM и AQM:
   • У нас есть два треугольника: AEM и AQM.
   • Мы знаем, что AE = AM (по условию).
   • Также угол AEM равен углу AQM, так как AQ перпендикулярно EM.
4. Следовательно, треугольники AEM и AQM равны:
   • По двум сторонам и углу между ними (SAS) треугольники AEM и AQM равны.
5. Из равенства треугольников: Мы можем утверждать, что угол AQM равен углу AEM.
6. Таким образом, AQ является биссектрисой угла A: Поскольку угол AQM равен углу AEM, это и доказывает, что AQ делит угол A пополам, что и является определением биссектрисы.

В итоге, мы пришли к выводу, что отрезок AQ действительно является биссектрисой угла A в треугольнике ABC.