Давайте разберемся, как обосновать формулу длины биссектрисы треугольника, которая представляется в виде:

l = sqrt(ab - a1b1)

где:

• l - длина биссектрисы;
• a и b - длины сторон треугольника, которые образуют угол, биссектрису которого мы рассматриваем;
• a1 и b1 - отрезки, на которые биссектрисa делит противоположную сторону.

Теперь давайте рассмотрим шаги, которые помогут нам понять, откуда берется эта формула:

1. Определение биссектрисы: Биссектрисой угла треугольника называется отрезок, который делит угол пополам и соединяет вершину угла с противоположной стороной.
2. Свойства треугольника: Известно, что биссектрисa делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника. То есть, если мы обозначим точки пересечения биссектрисы с противоположной стороной как D, то:
• AD / DB = AC / BC
3. Использование теоремы о биссектрисе: Мы можем выразить длины отрезков AD и DB через a и b. Обозначим AD = a1, а DB = b1. Тогда:
• a1 = (b * AC) / (AB + AC)
• b1 = (a * BC) / (AB + AC)
4. Применение теоремы Пифагора: Для нахождения длины биссектрисы l мы можем использовать теорему Пифагора в треугольниках ACD и BCD:
• l² = AD² + CD² (для треугольника ACD)
• l² = DB² + CD² (для треугольника BCD)
5. Составление уравнения: Из этих уравнений мы можем выразить CD и затем приравнять их, чтобы получить искомую формулу. После некоторых преобразований мы приходим к формуле:
• l² = ab - a1b1
6. Заключение: Таким образом, мы обосновали формулу длины биссектрисы треугольника, используя свойства треугольника и теорему Пифагора.

Эта формула позволяет нам находить длину биссектрисы, зная длины сторон треугольника и отрезков, на которые она делит противоположную сторону. Надеюсь, это объяснение помогло вам понять, откуда берется данная формула!