Какое расстояние между прямыми AB и PC в правильной пирамиде РАВС, если боковое ребро РА равно 3, а сторона основания равна 2?

Геометрия 10 класс Расстояние между прямыми в пространстве расстояние между прямыми правильная пирамида боковое ребро сторона основания геометрия 10 класс Новый

Чтобы найти расстояние между прямыми AB и PC в правильной пирамиде РАВС, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

Шаг 1: Определим координаты вершин пирамиды.

• Пусть основание ABCD лежит в плоскости XY, а вершина P находится на оси Z.
• Так как основание квадратное и сторона его равна 2, мы можем задать координаты вершин:
• A(0, 0, 0)
• B(2, 0, 0)
• C(2, 2, 0)
• D(0, 2, 0)
• Теперь определим координаты вершины P. Поскольку боковое ребро PA равно 3, а основание находится на высоте 0, то координаты P будут:
• P(1, 1, h), где h - высота пирамиды.

Шаг 2: Найдем высоту h.

Мы знаем, что длина бокового ребра PA равна 3. Используя теорему Пифагора в треугольнике PAB, где AB = 2:

• PA^2 = AB^2 + h^2
• 3^2 = 2^2 + h^2
• 9 = 4 + h^2
• h^2 = 5
• h = √5.

Таким образом, координаты вершины P равны (1, 1, √5).

Шаг 3: Найдем уравнения прямых AB и PC.

• Прямая AB: ее можно задать параметрически:
• x = 0 + t(2 - 0) = 2t
• y = 0 + t(0 - 0) = 0
• z = 0 + t(0 - 0) = 0, где 0 ≤ t ≤ 1.
• Прямая PC:
• x = 2 + t(1 - 2) = 2 - t
• y = 2 + t(1 - 2) = 2 - t
• z = 0 + t(√5 - 0) = t√5, где 0 ≤ t ≤ 1.

Шаг 4: Найдем расстояние между прямыми AB и PC.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми можно найти с помощью формулы:

d = |(b2 - b1) * (n1 x n2)| / |n1 x n2|,

где b1 и b2 - точки на прямых, n1 и n2 - направления прямых.

Шаг 5: Найдем векторы направлений и точки на прямых.

• Вектор направления для AB: n1 = (2, 0, 0).
• Вектор направления для PC: n2 = (-1, -1, √5).
• Точка на AB: b1 = A(0, 0, 0).
• Точка на PC: b2 = P(1, 1, √5).

Шаг 6: Подставим значения в формулу.

• Разность точек: b2 - b1 = (1, 1, √5) - (0, 0, 0) = (1, 1, √5).
• Вычислим векторное произведение n1 x n2:
• n1 x n2 = (2, 0, 0) x (-1, -1, √5) = (0 - 0, 0 - 2√5, -2).
• n1 x n2 = (0, -2√5, -2).
• Найдём длину этого вектора: |n1 x n2| = √(0^2 + (-2√5)^2 + (-2)^2) = √(20 + 4) = √24 = 2√6.
• Теперь подставим в формулу для расстояния:
• d = |(1, 1, √5) * (0, -2√5, -2)| / 2√6.
• Вычисляем скалярное произведение: 1*0 + 1*(-2√5) + √5*(-2) = -2√5 - 2√5 = -4√5.
• Таким образом, d = 4√5 / 2√6 = 2√5 / √6 = (2√30) / 6 = √30 / 3.

Таким образом, расстояние между прямыми AB и PC в правильной пирамиде РАВС равно √30 / 3.