Каково расстояние между прямыми AB и PC в правильной пирамиде РАВС, если боковое ребро РА равно 3, а сторона основания равна 2?

Геометрия 10 класс Расстояние между прямыми в пространстве расстояние между прямыми правильная пирамида боковое ребро сторона основания геометрия 10 класс Новый

Чтобы найти расстояние между прямыми AB и PC в правильной пирамиде РАВС, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем это поэтапно.

Шаг 1: Определение координат вершин

Сначала определим координаты вершин пирамиды. Для этого представим основание ABC как квадрат, расположенный в плоскости XY. Пусть:

• A(0, 0, 0)
• B(2, 0, 0)
• C(2, 2, 0)
• D(0, 2, 0)

Вершина пирамиды P будет находиться над центром основания. Центр квадрата ABCD имеет координаты (1, 1, 0). Поскольку боковое ребро PA равно 3, координаты точки P будут:

• P(1, 1, 3)

Шаг 2: Уравнения прямых AB и PC

Теперь найдем уравнения прямых AB и PC.

• Прямая AB проходит через точки A(0, 0, 0) и B(2, 0, 0). Уравнение этой прямой можно записать в параметрической форме:
• x = 0 + 2t
• y = 0 + 0t
• z = 0 + 0t
• Прямая PC проходит через точки P(1, 1, 3) и C(2, 2, 0). Уравнение этой прямой также можно записать в параметрической форме:
• x = 1 + (2 - 1)s
• y = 1 + (2 - 1)s
• z = 3 + (0 - 3)s

Шаг 3: Нахождение расстояния между прямыми

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми можно найти с помощью формулы:

Расстояние = |(P2 - P1) * (d1 x d2)| / |d1 x d2|, где P1 и P2 - точки на прямых, d1 и d2 - направляющие векторы прямых.

Шаг 4: Вычисление направляющих векторов

• Для прямой AB: d1 = (2, 0, 0) - (0, 0, 0) = (2, 0, 0)
• Для прямой PC: d2 = (2, 2, 0) - (1, 1, 3) = (1, 1, -3)

Шаг 5: Вычисление векторного произведения

Теперь найдем векторное произведение d1 и d2:

• d1 x d2 = |i j k|
• |2 0 0|
• |1 1 -3|

Вычисляя, получаем:

• i(0*(-3) - 0*1) - j(2*(-3) - 0*1) + k(2*1 - 0*1) = (0, 6, 2)

Шаг 6: Нахождение расстояния

Теперь подставим все в формулу:

• P1 = A(0, 0, 0), P2 = P(1, 1, 3)
• P2 - P1 = (1 - 0, 1 - 0, 3 - 0) = (1, 1, 3)

Теперь подставим в формулу:

• Расстояние = |(1, 1, 3) * (0, 6, 2)| / |(0, 6, 2)|

Вычисляем скалярное произведение и длину вектора:

• |(1*0 + 1*6 + 3*2)| = |0 + 6 + 6| = |12| = 12
• |(0, 6, 2)| = sqrt(0^2 + 6^2 + 2^2) = sqrt(36 + 4) = sqrt(40) = 2sqrt(10)

Подставляем значения:

• Расстояние = 12 / (2sqrt(10)) = 6/sqrt(10) = 3sqrt(10)/5

Ответ:

Расстояние между прямыми AB и PC в правильной пирамиде РАВС равно 3sqrt(10)/5.