В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона основания равна 4 корня из 3. E и F - середины рёбер A1B1 и AC соответственно. Каково расстояние между прямыми AA1 и EF?

Геометрия 10 класс Расстояние между прямыми в пространстве геометрия правильная треугольная призма расстояние между прямыми середины ребер задачи по геометрии треугольники свойства призмы вычисление расстояния геометрические фигуры A1B1 ef ABCA1B1C1 Новый

Для решения задачи нам нужно найти расстояние между прямыми AA1 и EF в правильной треугольной призме. Давайте разберёмся с каждым шагом подробно.

Шаг 1: Определение координат вершин призмы

Сначала определим координаты вершин призмы. Поскольку основание призмы - правильный треугольник со стороной 4 корня из 3, мы можем расположить его в координатной плоскости:

• A(0, 0, 0)
• B(4 корня из 3, 0, 0)
• C(2 корня из 3, 4, 0)
• A1(0, 0, h)
• B1(4 корня из 3, 0, h)
• C1(2 корня из 3, 4, h)

где h - высота призмы.

Шаг 2: Определение координат точек E и F

Точка E - середина рёбер A1B1. Найдём её координаты:

• E((0 + 4 корня из 3) / 2, (0 + 0) / 2, (h + h) / 2) = (2 корня из 3, 0, h)

Точка F - середина рёбер AC. Найдём её координаты:

• F((0 + 2 корня из 3) / 2, (0 + 4) / 2, (0 + 0) / 2) = (корень из 3, 2, 0)

Шаг 3: Определение направляющих векторов прямых AA1 и EF

Теперь найдём направляющие векторы для прямых AA1 и EF:

• Для прямой AA1: v1 = A1 - A = (0, 0, h) - (0, 0, 0) = (0, 0, h)
• Для прямой EF: v2 = F - E = (корень из 3, 2, 0) - (2 корня из 3, 0, h) = (-корень из 3, 2, -h)

Шаг 4: Использование формулы для расстояния между скрещивающимися прямыми

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми можно найти по формуле:

d = |(v1 x v2) * (A - E)| / |v1 x v2|,

где A - точка на первой прямой (например, A), E - точка на второй прямой (например, E), а v1 x v2 - векторное произведение направляющих векторов.

Шаг 5: Найдём векторное произведение v1 и v2

Векторное произведение v1 и v2:

• v1 x v2 = (0, 0, h) x (-корень из 3, 2, -h) = (0 * (-h) - h * 2, h * (-корень из 3) - 0 * (-h), 0 * 2 - 0 * (-корень из 3)) = (-2h, -h корня из 3, 0)

Шаг 6: Подсчёт длины векторного произведения

Теперь найдём длину векторного произведения:

• |v1 x v2| = корень из((-2h)^2 + (-h корня из 3)^2 + 0^2) = корень из(4h^2 + 3h^2) = корень из(7h^2) = h корня из 7.

Шаг 7: Подсчёт расстояния

Теперь подставим значения в формулу для расстояния:

• Сначала найдём вектор A - E = (0, 0, 0) - (2 корня из 3, 0, h) = (-2 корня из 3, 0, -h).
• Теперь подставим все значения в формулу для расстояния:

d = |(-2h, -h корня из 3, 0) * (-2 корня из 3, 0, -h)| / (h корня из 7).

После всех вычислений, мы получим расстояние между прямыми AA1 и EF. В результате, расстояние между прямыми AA1 и EF равно 2 корня из 3 / корень из 7.

Таким образом, ответ на задачу: расстояние между прямыми AA1 и EF равно 2 корня из 3 / корень из 7.