Какова площадь боковой поверхности четырёхугольной пирамиды, если все её боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60°, а в основании находится ромб со стороной 5 и острым углом 30°?

Геометрия 10 класс Площадь боковой поверхности пирамиды площадь боковой поверхности четырёхугольная пирамида ромб угол 60 градусов сторона 5 острый угол 30 градусов Новый

Чтобы найти площадь боковой поверхности четырёхугольной пирамиды, нам нужно выполнить несколько шагов. Начнём с того, что определим площадь боковых граней пирамиды, которые являются треугольниками.

1. **Определение площади основания**: В основании пирамиды у нас находится ромб. Площадь ромба можно найти по формуле:

Площадь ромба = (d1 * d2) / 2, где d1 и d2 - диагонали ромба.

Для ромба со стороной 5 и острым углом 30° мы можем найти длины диагоналей:

• Диагональ d1 = 2 * сторона * sin(угол) = 2 * 5 * sin(30°) = 2 * 5 * 0.5 = 5.
• Диагональ d2 = 2 * сторона * cos(угол) = 2 * 5 * cos(30°) = 2 * 5 * (√3/2) = 5√3.

Теперь подставим значения в формулу для площади ромба:

Площадь ромба = (5 * 5√3) / 2 = 25√3 / 2.

2. **Определение высоты боковых граней**: Каждая боковая грань пирамиды является треугольником, основанием которого является сторона ромба, а высота равна высоте треугольника, образованного боковой гранью и вертикалью, проведённой из вершины пирамиды до основания.

Так как угол наклона боковых граней к плоскости основания равен 60°, мы можем найти высоту треугольника:

h = сторона * tan(60°) = 5 * √3.

3. **Площадь одной боковой грани**: Площадь треугольника можно найти по формуле:

Площадь = (основание * высота) / 2.

В нашем случае основание - это сторона ромба (5), а высота - это h (5√3):

Площадь одной боковой грани = (5 * 5√3) / 2 = 25√3 / 2.

4. **Общая площадь боковой поверхности**: Поскольку у нас 4 боковые грани, общая площадь боковой поверхности будет равна:

Общая площадь боковой поверхности = 4 * площадь одной боковой грани.

Общая площадь боковой поверхности = 4 * (25√3 / 2) = 50√3.

Таким образом, площадь боковой поверхности четырёхугольной пирамиды составляет 50√3.