Каковы углы треугольника ABC, если высоты, проведенные к боковым сторонам AB и AC остроугольного равнобедренного треугольника, пересекаются в точке M, и угол BMC равен 140°?

Геометрия 10 класс Треугольники и их свойства углы треугольника треугольник ABC высоты треугольника остроугольный треугольник равнобедренный треугольник угол BMC точка M геометрия треугольников Новый

Для решения данной задачи давайте разберем, что нам известно и что требуется найти.

У нас есть равнобедренный треугольник ABC, где AB = AC. Высоты, проведенные к боковым сторонам AB и AC, пересекаются в точке M. Угол BMC равен 140°. Нам нужно найти углы треугольника ABC.

Поскольку треугольник ABC равнобедренный, углы при основании равны, то есть угол A = угол B. Обозначим угол A как α, а угол B и C как β.

Теперь рассмотрим треугольник BMC. В этом треугольнике угол BMC равен 140°. Поскольку M - это точка пересечения высот, то углы BMA и CMA являются прямыми (по определению высоты). Это означает, что:

• Угол BMA = 90°
• Угол CMA = 90°

Теперь, используя сумму углов треугольника BMC, мы можем записать:

Сумма углов треугольника BMC:

Угол BMC + угол BMA + угол CMA = 180°

140° + 90° + угол BMC = 180°

Теперь подставим известные значения:

140° + 90° + угол CMB = 180°

Угол CMB = 180° - 140° - 90° = -50°

Однако, это не может быть, так как угол не может быть отрицательным. Это говорит о том, что мы неправильно использовали углы. Давайте пересчитаем углы в треугольнике BMC:

Так как высоты пересекаются в M, мы можем сказать, что угол BMC = угол BMA + угол CMA.

Мы знаем, что:

• угол BMA = 90° - угол A/2
• угол CMA = 90° - угол A/2

Таким образом, угол BMC = (90° - угол A/2) + (90° - угол A/2) = 180° - угол A.

Теперь, зная, что угол BMC = 140°, мы можем записать следующее уравнение:

Уравнение:

180° - угол A = 140°

угол A = 180° - 140° = 40°.

Так как треугольник равнобедренный, угол B также равен углу A, то угол B = 40°.

Теперь, чтобы найти угол C, мы можем воспользоваться тем, что сумма углов треугольника равна 180°:

Сумма углов треугольника ABC:

угол A + угол B + угол C = 180°

40° + 40° + угол C = 180°

угол C = 180° - 80° = 100°.

Итак, мы нашли углы треугольника ABC:

• угол A = 40°
• угол B = 40°
• угол C = 100°

Ответ: углы треугольника ABC равны 40°, 40° и 100°.