Вопрос: Точка К, удаленная от плоскости треугольника АВС на 4 см, находится на равном расстоянии от его вершин. Стороны треугольника равны 12 см. Вычислите:

1. Длину проекции отрезка КВ на плоскость треугольника;
2. Расстояние от точки К до вершин треугольника.

Геометрия 10 класс Треугольники и их свойства геометрия 10 класс треугольник длина проекции расстояние до вершин точка К плоскость треугольника равное расстояние стороны треугольника задачи по геометрии Новый

Давайте разберем задачу по шагам.

По условию, у нас есть равносторонний треугольник ABC, где каждая сторона равна 12 см. Точка K находится на расстоянии 4 см от плоскости этого треугольника и равноведомо удалена от всех трех вершин треугольника.

1. Вычислим длину проекции отрезка KV на плоскость треугольника:

• Сначала найдем высоту треугольника ABC. В равностороннем треугольнике высота делит основание пополам и образует прямоугольный треугольник с половиной стороны и высотой.
• Полуоснова треугольника равна 12 см / 2 = 6 см.
• По теореме Пифагора высота H треугольника будет равна: H = √(12² - 6²) = √(144 - 36) = √108 = 6√3 см.
• Теперь по свойствам равностороннего треугольника известно, что проекция отрезка KV на плоскость треугольника будет равна 2/3 высоты треугольника. Это связано с тем, что точка K равноведома от всех вершин, и её проекция на плоскость будет находиться на уровне 2/3 высоты.
• Таким образом, длина проекции отрезка KV будет равна: (2/3) * (6√3) = 4√3 см.

2. Теперь найдем расстояние от точки K до вершин треугольника:

• Расстояние от точки K до любой вершины треугольника (например, A, B или C) можно найти с помощью теоремы Пифагора в прямоугольном треугольнике.
• В этом случае один из катетов равен высоте KO (которая равна 4 см), а другой катет - это проекция отрезка KV на плоскость треугольника, равная 4√3 см.
• Теперь можем найти расстояние AK (или BK, или CK) с помощью формулы: AK = √(4² + (4√3)²).
• Подставляем значения: AK = √(16 + 48) = √64 = 8 см.

Таким образом, мы получили:

• Длина проекции отрезка KV на плоскость треугольника составляет 4√3 см.
• Расстояние от точки K до вершин треугольника равняется 8 см.