Какой объем треугольной пирамиды SABC, если высота SH падает на середину стороны AB, а ABC – правильный треугольник со стороной 6, и √SC = 39?

Геометрия 10 класс Объем треугольной пирамиды объём треугольной пирамиды высота треугольной пирамиды правильный треугольник сторона треугольника геометрия треугольника Новый

Чтобы найти объем треугольной пирамиды SABC, давайте сначала вспомним формулу для объема пирамиды:

V = (1/3) * S * h

где V - объем пирамиды, S - площадь основания, h - высота пирамиды, опущенная на основание.

В нашем случае основание - это треугольник ABC. Поскольку ABC - правильный треугольник со стороной 6, мы можем найти его площадь. Площадь правильного треугольника вычисляется по формуле:

S = (a^2 * √3) / 4

где a - длина стороны треугольника. Подставим a = 6:

• S = (6^2 * √3) / 4
• S = (36 * √3) / 4
• S = 9√3

Теперь у нас есть площадь основания S = 9√3.

Следующий шаг - найти высоту SH. По условию, высота SH падает на середину стороны AB. Так как AB - это сторона правильного треугольника, ее длина равна 6, следовательно, длина отрезка AM (где M - середина AB) равна 3.

Теперь нам нужно найти длину SH. Мы знаем, что SC = 39, и это расстояние от точки S до точки C. Чтобы найти SH, нам нужно использовать теорему Пифагора в треугольнике SCM:

Согласно теореме Пифагора:

SC^2 = SM^2 + HM^2

Где HM - это высота SH, а SM - это отрезок от S до M. Поскольку M - середина стороны AB, SM = SH.

Подставим известные значения:

• SC = 39
• AM = 3

Теперь у нас есть:

39^2 = SH^2 + 3^2

• 1521 = SH^2 + 9
• SH^2 = 1521 - 9
• SH^2 = 1512
• SH = √1512

Теперь мы можем найти объем пирамиды:

V = (1/3) * S * h

Подставим значения:

• V = (1/3) * (9√3) * (√1512)

Теперь упростим выражение:

Сначала найдем √1512:

• √1512 = √(36 * 42) = 6√42

Теперь подставим это значение в формулу объема:

• V = (1/3) * (9√3) * (6√42)
• V = (1/3) * 54√(3*42)
• V = (1/3) * 54√126
• V = 18√126

Таким образом, объем треугольной пирамиды SABC равен 18√126.