Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды в 3 раза больше площади основания. Как можно найти два гранных угла при основании?

Срочно, те кто знает, как правильно решить, напишите, пожалуйста!

Геометрия 10 класс Правильные четырехугольные пирамиды правильная четырехугольная пирамида площадь боковой поверхности гранные углы при основании геометрия 10 класс решение задачи по геометрии Новый

Давайте разберем задачу по шагам. У нас есть правильная четырехугольная пирамида, у которой площадь боковой поверхности в 3 раза больше площади основания. Нам нужно найти два гранных угла при основании.

1. Определим обозначения:

• Пусть S основание - площадь основания пирамиды.
• Пусть S боковая - площадь боковой поверхности пирамиды.
• Пусть a - длина стороны основания (квадрат).
• h - высота пирамиды.
• l - образующая (длина от вершины пирамиды до середины стороны основания).

2. Вычислим площади:

• Площадь основания S основание = a^2, так как основание - квадрат.
• Площадь боковой поверхности S боковая = 2 * a * l, поскольку боковая поверхность состоит из 4 треугольников, и каждый из них имеет основание a и высоту l.

3. Согласно условию задачи:

S боковая = 3 * S основание. Подставим выражения для площадей:

2 * a * l = 3 * a^2.

4. Упростим это уравнение:

• Сократим на a (при условии, что a ≠ 0):
• 2 * l = 3 * a.
• Отсюда получаем: l = (3/2) * a.

5. Теперь найдем гранные углы:

Гранный угол при основании - это угол между боковой гранью и основанием. Мы можем использовать тригонометрию для нахождения этого угла.

6. Используем тангенс угла:

Тангенс угла α (гранного угла) равен отношению высоты пирамиды h к половине стороны основания:

tg(α) = h / (a / 2).

7. Для нахождения h:

Мы можем использовать теорему Пифагора для треугольника, образованного высотой, половиной стороны основания и образующей:

l^2 = h^2 + (a/2)^2.

Подставляем значение l:

((3/2) * a)^2 = h^2 + (a/2)^2.

9/4 * a^2 = h^2 + 1/4 * a^2.

h^2 = (9/4 - 1/4) * a^2 = 2 * a^2.

h = a * sqrt(2).

8. Теперь подставим h в формулу для tg(α):

tg(α) = (a * sqrt(2)) / (a / 2) = 2 * sqrt(2).

9. Теперь найдем угол α:

α = arctg(2 * sqrt(2)).

10. Таким образом, мы нашли гранный угол при основании:

Чтобы найти второй гранный угол, можно использовать симметрию правильной пирамиды, так как они будут равны.

В итоге, мы нашли, что гранные углы при основании равны α = arctg(2 * sqrt(2)).